МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ПРИКАЗ

от 4 мая 2018 года № 60

«Об утверждении Методических основ по экономическому прогнозированию»

В соответствии с Законом Кыргызской Республики «О государственном прогнозировании социально-экономического развития Кыргызской Республики», статьей 8 Закона Кыргызской Республики «О нормативных правовых актах Кыргызской Республики» и согласно п.10 Приложения 1 к постановлению Правительства Кыргызской Республики «О делегировании отдельных нормотворческих полномочий Правительства Кыргызской Республики ряду государственных органов исполнительной власти» от 15 сентября 2014 года №530,

ПРИКАЗЫВАЮ:

1.    Утвердить:

- Методическую основу прогнозирования потребности секторов экономики Кыргызской Республики в трудовых ресурсах (далее Методическая основа) согласно приложению 1;

- Руководство по краткосрочному прогнозированию на основе индикаторов (далее Руководство) согласно приложению 2;

2. Начальнику управления макроэкономической политики:

- внедрить в практику разработанные модели и обеспечить практическое их применение в соответствии с утвержденной Методической основой и Руководством;

- определить ответственных сотрудников министерства за ведение базы данных по мониторингу компонентов моделей;

- организовать процесс взаимодействия с ключевыми партнерами по разработке прогнозов социально-экономического развития Кыргызской Республики с применением Методической основы и Руководства и отраслевыми министерствами и ведомствами.

3. Управлению макроэкономической политики:

- в течение трех рабочих дней со дня регистрации направить настоящий приказ в Аппарат Правительства Кыргызской Республики;

- в соответствии с пунктами 17 и 19 Положения о порядке делегирования отдельных нормотворческих полномочий Правительства Кыргызской Республики государственным органам исполнительной власти постановления Правительства Кыргызской Республики от 15 сентября 2014 года №530, произвести в установленном порядке регистрацию настоящего приказа и государственную регистрацию в министерстве юстиции Кыргызской Республики.

4. Отделу контроля и делопроизводства управления организационно-технического и финансового обеспечения довести настоящий приказ до сведения статс-секретаря, заместителей министра и начальников соответствующих структурных подразделений министерства.

5. Контроль за исполнением настоящего приказа возложить на заместителя министра курирующего вопросы макроэкономической политики.

6. Настоящий приказ вступает в силу по истечении 15 дней со дня официального опубликования.

Приложение 1

Министерство экономики Кыргызской Республики

Методическая основа

прогнозирования потребности секторов экономики Кыргызской Республики в трудовых ресурсах

              Введение

Создание рабочих мест и хорошо функционирующий рынок труда - ключевые движущие факторы для сокращения бедности и развития. Рабочие места не только побочный продукт роста, но и сами по себе представляют цель развития и приоритет для политики. Часто представляя самый важный актив для бедных, рабочие места являются главным механизмом вывода людей из бедности. Таким образом, расширение возможностей трудоустройства и увеличение доходов для существующих рабочих мест представляют высший приоритет для разработчиков политики, как в развивающихся, так и в развитых странах. Это тем более верно в отношении таких стран, как Кыргызская Республика, в последние годы характеризующаяся растущим оттоком трудовых мигрантов.

В этом контексте крайне важно иметь возможность точно предсказывать развитие рынка труда на регулярной основе. Введение модели прогнозирования для кыргызского рынка труда является ключевым шагом в рамках более обширных продолжающихся усилий по укреплению потенциала, которые, на национальном уровне, направлены на значительное улучшение качества макроэкономических прогнозов и поддержки выработки мер политики в Кыргызской Республике.

Для повышения качества макроэкономических прогнозов, которые в настоящее время разрабатываются Министерством экономики Кыргызской Республики (МЭ КР), в настоящей работе предлагается методика построения модели прогнозирования на h-шагов вперед для кыргызского рынка труда, целевыми переменными в которой являются занятость и безработица, измеряемые Национальным статистическим комитетом (НСК)КР на ежеквартальной основе.

В данном отчете, на основе реализации предложенной методики, также представлены прогнозы на12 кварталов вперед(на период с 1 кв. 2014 г. по 4 кв. 2016 г.) для следующих переменных:

-        общая занятость;

-        занятость в сельском хозяйстве;

-        занятость в промышленности;

-        занятость в строительстве;

-        занятость в услугах;

-        общая безработица.

Путем построений, также возможно получить прогнозы для:

-        общих трудовых ресурсов;

-        уровня безработицы.

Ядро предложенной модели прогнозирования состоит из двух наборов стохастических уравнений для прогнозирования численности, как занятых, так и  безработных. Первый набор относится ко всем лицам, занятым на секторном уровне, определенным, как функция секторного ВВП, если он значим, и других экономических агрегатов. Это обеспечивает согласованность прогноза переменных рынка труда с квартальным ВВП. Второй набор стохастических уравнений сфокусирован на всех безработных, и, в основном, использует информацию, полученную из прошлых наблюдений за тем же рядом. Численность занятых и безработных прогнозируется стохастическими уравнениями; трудовые ресурсы и уровень безработицы определяются путем использования бухгалтерских тождеств.

Модели прогнозирования работают с оригинальными, т.е., не подвергавшимися коррекции, временными рядами. Для исключения эффекта сезонности, полученные прогнозные оценки были скорректированы с учетом сезонных колебаний, в соответствии с процедурой X-13ARIMA-SEATS.

Настоящий отчет организован следующим образом. В Разделе 2 рассмотрена общая схема методики, которая использовалась для прогнозирования. Она представляет собой инструкцию для всех будущих действий по прогнозированию. 

В Разделе 3 изложены результаты прогнозирования на период 2014-2016 гг. В частности, в Разделе 3.1 рассмотрены вопросы доступности данных и временного охвата переменных рынка труда и набора макроэкономических предикторов, которые потенциально полезны для прогнозирования развития рынка труда. В Разделе 3.2 мы вводим и количественно и качественно оцениваем различные конкурирующие сезонные модели для прогнозирования безработицы (параграф 3.2.1), общей занятости (параграф 3.2.2) и занятости по секторам деятельности (параграф 3.3.1). В Разделе 3.3 представлена сезонная коррекция наборов прогнозируемых значений. Все коды, использованные в вычислениях, приведены в Приложении A.

2            Методология

В этом разделе рассматривается общая методология, которую предлагается реализовать для прогнозирования переменных рынка труда.

Придерживаясь последних тенденций, отраженных в литературе в области (см., например, Скалин и Терасвирта, 2002; Элсби, Хобиджин и Сахин, 2008; Болл, Ли и Лунгани, 2013), предлагается опираться на два главных подхода к прогнозированию спроса и предложения рабочей силы. Первый подход основан на свойствах временных рядов интересующих нас переменных, наряду с индикаторами рынка труда на ближайшую перспективу, если они имеются. Второй основывается на взаимосвязи между занятостью/безработицей и экономическим ростом, как определяется экономической теорией (например, закон Оукена). Независимо от выбранного подхода, в задаче прогнозирования имеются некоторые общие базовые шаги, которые будут проиллюстрированы в следующем разделе.[1]

2.1                Шаги прогнозирования

Пользуясь подходом Хиндманаи Атанасопулоса (2014), определяем пять основных шагов.

•   Шаг 1: Определение задачи. Сначала необходимо хорошо понять переменные, которые должны прогнозироваться, как они определяются и измеряются. Также важно выяснить, каким образом прогнозы будут использоваться в организации, которой требуются прогнозы. Поэтому, прогнозист должен потратить свое время на обсуждение задачи со всеми, кто будет вовлечен в сбор данных, поддержание баз данных и использование прогнозов для будущего планирования.

•   Шаг 2: Сбор информации: статистические данные. Всегда имеются, по крайней мере, два вида требуемой информации: (a) временной ряд переменных, которые будут прогнозироваться, и (b) потенциальные индикаторы, задаваемые посредством использования экспертных знаний специалистов, занимающихся местными рынками труда, а также наиболее успешной международной практики.

•   Шаг 3: Исследовательский анализ. Этот шаг включает анализ характеристик ряда, который будет прогнозироваться, и, в конечном счете, преобразование исходного ряда (например, логарифмическое преобразование). Пониманию свойств ряда всегда помогает отображение в виде графика. Некоторые вопросы, на которые следует ответить, включают следующее: Есть ли повторяющиеся характеристики? Есть ли заметный тренд? Важна ли сезонность? Является ли ряд стационарным? Есть ли какие-либо выбросы в данных, для объяснения которых нужен специалист с экспертными знаниями? Насколько сильны взаимосвязимежду другими имеющимися потенциальными индикаторами? Этот предварительный анализ будет рассмотрен далее в параграфе 2.2.

· Шаг 4: Выбор модели, оценка и проверка. Наилучшая для использования модель зависит от наличия исторических данных и существенности взаимосвязей между прогнозируемой переменной и какими-либо казуальными переменными. Обычной практикой является сравнение двух или трех потенциальных конкурирующих моделей прогнозирования. Каждая модель сама по себе является искусственным построением, которое основано на ряде предположений (явных и неявных), и обычно включает один или несколько параметров, подлежащих оценке. Модели, которые мы рассмотрим, включают:

-регрессионные модели;

-модели ARIMA Бокса-Дженкинса;

-динамические регрессионные модели, которые объединяют регрессионные модели с моделями ARIMA, приводящими к регрессиям с ошибками ARIMA.

В процедуре построения модели важную роль играет также проверка модели. Довольно часто проверка модели состоит из оценки точности подгонки модели (как, например, по статистике R²). Вместе с тем, высокие значения R² не гарантируют, что модель пригодна для прогнозирования. Графический анализ остатков - эффективный статистический инструмент для проверки (и, в любом случае, полезно увидеть, были ли предположения правильными, или нет). Различные типы графиков остатков из подогнанной модели дают информацию о соответствии различных аспектов модели. Характер остатков может также помочь принять решение, следует ли включить в модель лаги и/или прошлые изменения в некоторых предикторах.

Выбор и проверка моделей для прогнозирования будут рассмотрены далее в параграфе 2.3.

· Шаг 5: Использование и оценка прогнозной модели. После того, как модель (или несколько моделей, если у нас есть конкурирующие модели) была выбрана, и ее параметры оценены, модель «потенциально готова» к вычислению прогнозов.

Однако прежде чем модель будет окончательно готова, она должна быть оценена с точки зрения эффективности прогноза «вне выборки». Эффективность модели можно будет оценить должным образом только после того, как станут доступными данные за прогнозируемый период.

Чтобы помочь в оценке точности прогнозов, был разработан целый ряд методов, которые будут рассмотрены в разделе 2.4.

2.2 Исследовательский анализ

Временные ряды обычно демонстрируют различные характеристики (компоненты), которые могут быть выделены. Традиционно, эти характеристики связаны с трендами, сезонностью, циклами и нерегулярной (случайной) компонентой.

•   Тренд. Тренд имеет место, когда наблюдается долгосрочное увеличение или уменьшение данных. Он не обязательно должен быть линейным. В некоторых случаях мы будем упоминать «тренд, изменяющий направление» – если происходит изменение с растущей тенденции к снижающейся тенденции.

•   Сезонность. Сезонные компоненты существуют, если ряд находится под влиянием сезонных факторов (например, кварталы года, месяцы или дни недели). Сезонность всегда имеет постоянный и известный период.

•   Цикл. Циклические компоненты существуют, если данные показывают подъемы и падения, которые не имеют постоянного периода. Продолжительность этих колебаний обычно составляет, по крайней мере, 2 года. Часто бывает трудно отделить цикл от тренда, и общая компонента определяется, кактренд-циклическая.

Заметьте, что, если период не изменяется, и связан с тем или иным аспектом календаря, то характеристика является сезонной. В целом, средняя продолжительность циклов больше, чем продолжительность сезонной компоненты, и абсолютная величина циклов обычно более переменчива, чем величина сезонных компонент.

•   Нерегулярная(случайная) компонента. Нерегулярная компонента временного ряда –это остаток временного ряда после того, как тренд-цикличные и сезонные компоненты (включая календарные эффекты) были удалены. Она соответствует высокочастотным колебаниям ряда.

Соответственно этим компонентам, ряд может быть разложен аддитивным или мультипликативным способом. Если мы принимаем аддитивную модель, ряд может быть записан как

yt= Tt+ St+ Et,

где yt– данные периода t, St– сезонная компонента в период t, Tt– тренд-цикличная компонента в период t и Et - нерегулярная компонента.

Мультипликативная модель может быть записана как: yt= Tt× st× et.

Аддитивная модель полезна, когда сезонная вариация относительно постоянна по времени, в то время как мультипликативная модель – когда сезонная вариация увеличивается с течением времени.[2] Для экономических временных рядов обычно применяются мультипликативные модели.

При использовании моделей для временных рядов, важно удостовериться, что ряд является стационарным. Следует отметить, что стационарные или «стационаризированные» ряды относительно легко прогнозировать.

Стационарный временной ряд –это ряд, свойства которого (среднее, вариация, автокорреляция…) не зависят от времени, в течение которое наблюдается ряд. Поэтому, если ряд стационарный, мы в состоянии получить значащую статистику выборки, такую как средние, вариации и корреляции с другими переменными, и сделать прогнозна основе этих статистических свойств, которые в будущем будут такими же, какими они были в прошлом.

Временные ряды с трендами, или с сильной сезонностью не стационарны: тренд и сезонность затрагивают значения временного ряда в разные моменты времени.[3]

График стационарного ряда по времени будет примерно горизонтальным, с постоянной вариацией.

Полезным инструментом, позволяющим судить, стационарен ли ряд, является функция автокорреляции. Автокорреляция означает корреляцию временного ряда с его собственными прошлыми и будущими значениями. Точно так же, как корреляция измеряет степень линейной зависимости между двумя переменными, автокорреляция измеряет линейное соотношение между запаздывающими значениями временного ряда.[4]Запаздывание является периодом времени, разделяющим упорядоченные данные, и используется для вычисления коэффициентов автокорреляции. Запаздывающая версия временного ряда вычисляется путем смещения шкалы времени назад на определенное число наблюдений. Таким образом, переменная с запаздыванием определяется следующим образом: предположим, что мы имеем временной ряд Y: yt, t= 1, ···, T; запаздывающая переменная (с величиной лага, равной единице) является переменной временного ряда с наблюдениями:

zt= yt−1, t= 2, · · · , T.

В общем случае, запаздывающая версия временного ряда, смещенная назад на k наблюдений, может быть записана как:

Wt = Yt−k , for t = k + 1, · · · , T.

Автокорреляцияпорядка k (rk) определяется как корреляция междуytиyt−k:

Функция автокорреляции (выборки) (ACF или коррелограмма) отображает коэффициенты автокорреляции на вертикальной оси, и значения запаздывания на горизонтальной оси, т.е., она отображает rk на оси y как функцию k (k= 1, · · · , K).  Kздесь представляет максимальную величину запаздывания (эмпирическое правило: никогда не превышайте значение K= 1/4 ∗T). Графическое представление ACF позволяет получить представление о свойствах временного ряда. Например, положительная автокорреляция может рассматриваться, как специфическая форма постоянства, тенденции системы оставаться в том же состоянии от предыдущего наблюдения к следующему.

Если временной ряд абсолютно случаен, то для больших значений Tr(k) ≈ 0 для всех ненулевых значений k. Стационарным временным рядам присуща краткосрочная корреляция, характеризующаяся небольшим количеством больших значений r (k), которые имеют тенденцию последовательно уменьшаться, и стремятся к нулю при больших значениях k. Если временной ряд является нестационарным, например, присутствует сильный тренд, то значения r (k) не будут уменьшаться до нуля, за исключением случаев больших значений k. Если временной ряд характеризуется сильными сезонными колебаниями, то коррелограмма также покажет большие значения с той же частотой (например, для квартальных данных при k= 4, 8, 12...).

Если временной ряд не является стационарным, то во многих случаях его можно преобразовать в стационарный, пользуясь одним из следующих преобразований:

•   Взятие разностей. Взятие разностей может помочь стабилизировать среднее временного ряда путем удаления изменений в уровне временного ряда, и таким, образом устранить тренд и сезонность.

Первой разностью временного ряда является серия изменений между последовательными наблюдениями в оригинальном ряде:

Сезонной разностью временного ряда является серия различий между каким-либо наблюдением и соответствующим наблюдением в предыдущем году:

где m = количество сезонов.

•   Приведение в логарифмическую форму. Такое преобразование, как логарифмирование, может помочь стабилизировать непостоянство временного ряда. Логарифмическая форма удобна, поскольку поддается толкованию: изменения величины логарифма представляют относительные (или процентные) изменения в оригинальном масштабе. Другая полезная особенность логарифмических преобразований заключается в том, что при их применении значения прогнозов всегда остаются положительными в оригинальном масштабе.

Прогнозы для стационаризированного ряда могут быть «детрансформированы», путем обратного преобразования любых математических преобразований, которые были применены ранее, с тем, чтобы получить прогнозы для оригинального ряда.

2.3 Выбор модели

Прогнозирование эконометрического временного ряда может осуществляться с использованием спектра различных моделей, включающего, в основном, линейные и нелинейные модели. На основе предположения, что временной ряд является реализацией вероятностного процесса, в большинстве прикладных подходов нашел применение линейный класс моделей, поскольку они дают хорошее приближение процесса, производящего данные.

Как показывает практика, к наиболее успешным одномерным моделям для прогнозирования переменных рынка труда относятся:

•   (линейные) регрессионные модели (например, модель авторегрессионного распределенного лага);

•   модели временных рядов (например, модель ARIMA);

•   комбинации этих двух моделей: основываются на моделях временных рядов (модели ARIMA), но включают также переменные предикторов.

2.3.1          Линейная регрессионная модель

В линейной регрессионной модели предполагается, что прогнозируемые переменные и переменные предикторов связаны простой линейной моделью:

y= β0 + β1x+ ε,

где параметры β₀ и β₁ определяют, соответственно, точку на оси координат и наклон линии. Точка β₀ представляет прогнозируемое значение y при x= 0. Наклон β₁представляет прогнозируемое увеличение y при увеличении x на одну единицу. Заметьте, что наблюдения не лежат на прямой линии, но разбросаны вокруг нее. Мы можем рассматривать каждое наблюдение y_i, как состоящее из систематической или объясненной части модели β₀ + β₁x, и случайной «ошибки» ε_i. «Ошибочный член «подразумевает не ошибку, а отклонение от основной модели прямой линии. Он включает в себя все, что может повлиять на y_i, кроме x_i. Предполагается, что эти ошибки:

1.    имеют среднее равное нулю; в противном случае прогнозы будут содержать систематическую ошибку;

2.    не автокоррелируются; иначе прогнозы будут неэффективны, поскольку в данных содержится больше информации, которая должна быть использована;

3.    не связаны с переменной предиктора; иначе в систематическую часть модели было бы необходимо включить больше информации.

На практике у нас есть набор наблюдений, но мы не знаем значенийβ₀ и β₁. Их необходимо оценить на основе данных. Принцип наименьших квадратов обеспечивает способ эффективного выбораβ₀ и β₁ путем минимизации суммы квадратических ошибок. Таким образом, выбираем минимизирующие значения β₀ и β₁

В результате получаются известные оценочные формулы обычного метода наименьших квадратов (МНК):

и

βˆ0  = y¯ − βˆ1x¯,

где x¯ - среднееарифметическое x наблюдений, и y¯ - среднее арифметическое  y наблюдений. Полученная оценочная линия известна, как «линия регрессии».

Прогнозируемые значения y, полученные из наблюдавшихся значений x, называются «подобранные значения». Мы записываем их, как yˆi= βˆ0 + βˆ1xi, для i= 1, · · · , N. Каждое значение yˆiпредставляет собой точку на линии регрессии, соответствующую наблюдению xi.

Разница между наблюдавшимися значениями y и соответствующими подобранными значениями является «остатками»: ei= yi− yˆi= yi− βˆ0 − βˆ1xi.

Общая форма множественной линейной регрессии:

yi = β0 + β1x1,i + β2x2,i + · · · + βkxk,i + ei

где y– прогнозируемая переменная, иx1, · · · , xk– переменные предиктора k.  Коэффициентыβ1, · · · , βk  измеряют влияние каждого предиктора после учета влияния всех остальных предикторов, включенных в модель. Таким образом, коэффициенты измеряют ограниченные воздействия переменных предикторов.

Когда имеется множество возможных предикторов, нам нужна некоторая стратегия выбора наилучших предикторов для включения в модель. Обычный подход заключается в изучении характера корреляции между переменными и возможными предикторами, так как корреляция и регрессия сильно связаны. Преимущество регрессионной модели по сравнению с корреляцией состоит в том, что она предполагает наличие прогнозирующей взаимосвязи между этими двумя переменными (x прогнозирует, не обязательно являясь причиной y), и количественно определяет ее таким способом, который полезен для прогнозирования. Другой общий подход состоит в исключении из полной модели со всеми предикторами тех переменных, p-значения которых ниже 0,05. Эта стратегия не работает корректно, если два или больше предиктора сильно коррелируются друг с другом, из-за проблемы мультиколлинеарности (которая возникает, когда две или более переменных предикторов дают аналогичную информацию). Эти подходы должны сопровождаться некоторыми мерами обеспечения точности прогнозирования.

После выбора переменных регрессии и подгонки модели регрессии, важным шагом, которого нельзя избежать, является построение графиков остатков, определяемых как разница между фактическими значениями и подобранными значениями et = y_t− yˆ_t, чтобы проверить, были ли удовлетворены предположения о модели. Необходимо построить целый ряд графиков, чтобы проверить различные аспекты подогнанной модели и основных предположений. Помимо более общих графиков, таких, как диаграмма рассеяния остатков по времени или по подобранным значениям, если мы имеем дело с данными временного ряда, более важным является график остатков функции автокорреляции (ACF). Этот график показывает, существует ли какая-либо автокорреляция в остатках, что является явным признаком того, что присутствует информация, которая не была учтена в модели. Формальный тест, разработанный для выявления значительной общей автокорреляции, называют тестом портманто (от французского слова, означающего чемодан, который может содержать много разных вещей). Один из таких тестов - тест Льюнга-Бокса, основанный на следующей статистической формуле:

Большие значения Q^*указывают на то, что причиной автокорреляции не является ряд белого шума.

Желательно всегда проверять, является ли распределение остатков нормальным. Этот шаг не обязателен для прогнозирования, но он значительно облегчает вычисление интервалов прогнозирования.

Всякий раз, когда мы вводим в регрессионную модель данные временного ряда, мы должны принять во внимание так называемую ложную регрессию (Грейнджер и Ньюболд, 1974), которая является следствием того, что оценка параметров модели с помощью МНК приводит к вводящим в заблуждение статистически значимым результатам. Рассмотрим, например, стандартную (статическую) регрессию: y_t = β₀ + β₁x_t + ε_t. Если эти две переменные не связаны, т.е. значение β₁ = 0, то мы должны ожидать что его оценка по МНКβˆ1 ≈ 0. Вместо этого МНК может привести к оценке βˆ1, существенно отличной от нуля, и обычные статистические тесты укажут, что коэффициент статистически отличается от нуля.

Эта проблема привела к значительной работе над тем, как определить, какими свойствами должен обладать временной ряд, если будут использоваться эконометрические методы. Основной вывод состоит в том, что любой временной ряд, используемый в эконометрических приложениях, должен быть стационарным. Как правило, временные ряды с экономическими данными не стационарны; то есть, значения временного ряда не колеблются относительно постоянного среднего или с постоянной вариацией (если это следствие стохастического тренда, то они имеют единичный корень).[5] За одним исключением, вы никогда не должны производить регрессию Y по X, если переменные имеют единичные корни. Исключением является ситуация, когда  Y и X являются коинтегрированными. В любом случае, безопасное решение, которое работает во всех случаях, состоит в том, что сначала берутся разности ряда, а затем осуществляется вычисление по регрессионной модели.

2.3.2         Модели ARIMA

Модели ARIMA используют только информацию о переменной, которая будет прогнозироваться, и не делают попыток определить факторы, которые влияют на ее поведение. В связи с этим, они могут экстраполировать тренд и сезонные компоненты, однако игнорируют всю другую информацию, такую как изменения в экономических условиях, которые могут быть отражены предикторами в регрессионной модели.

Прежде чем подробно рассматривать модели ARIMA, следует ввести некоторые обозначения.

Оператор обратного смещения B– удобный механизм[6] для работы с запаздыванием во временных рядах:

Byt= yt−1.

Другими словами, B, воздействующий на y_t, создает эффект смещения данных назад на один период. Применение B к y_tдважды смещает данные назад два периода:

B(Byt) = B2yt= y_t-2

Для квартальных данных, если мы хотим рассмотреть «тот же квартал прошлого года», используется оператор

B4yt =yt−4

Оператор обратного смещения удобен для описания процесса взятия разностей.

Первая разность может быть записана как:

Обратное смещение также очень полезно при объединении разностей, поскольку с оператором можно действовать, используя обычные алгебраические правила. В частности, условия, содержащие B, могут перемножаться. Например, сезонную разность, на которую накладывается первая разность, можно записать, как:

(1 − B)(1 − Bm)yt= (1 − B− Bm+ Bm+1)yt= yt− yt−1 − yt−m+ yt−m−1.

Авторегрессионные (АР) модели

В авторегрессионной модели мы прогнозируем интересующую нас переменную, используя линейную комбинацию прошлых значений переменной. Термин авторегрессия указывает на то, что это - регрессия переменной по самой себе.

Таким образом авторегрессионная модель порядкаp может быть записана как:

yt = c + φ1yt−1 + φ2yt−2 + · · · + φpyt−p + at,

где c- константа, и at белый шум. Это напоминает множественную регрессию, но с запаздывающими значениями y_t, в качестве предикторов. Данная модель называется АР (p).

Авторегрессионные модели имеют необыкновенную гибкость при обработке широкого диапазона различных характеристик временных рядов. Изменение параметров φ₁..φ_pприводит к различным характеристика временного ряда. Вариация члена ошибки at изменяет только масштаб ряда, но не характеристики.

Для модели AР(1):

•   если φ1 = 0, yt эквивалентен белому шуму;

•   если φ1 = 1 и c = 0, yt эквивалентен случайному блужданию;

•   если φ1 = 1 и c / = 0, yt эквивалентен случайному блужданию со смещением;

•   если φ1<0, yt имеет тенденцию колебаться между положительными и отрицательными значениями.

Ограничиваем применение авторегрессионных моделей стационарными данными, что приводит к некоторым ограничениям на значения параметров:

•   для модели АР(1):  −1 < φ1  < 1.

•   для модели АР (2): −1 < φ2  < 1, φ1 + φ2  < 1, φ2 − φ1  < 1.

•   еслиp≥ 3 ограничения становятся намного более сложными.

Модели со скользящим средним (СС)

Вместо использования прошлых значений прогнозируемой переменной в регрессии, модель скользящего среднего(СС) использует прошлые ошибки прогноза в модели, подобной регрессии:

yt= c+ et+ θ1et−1 + θ2et−2 + · · · + θqet−q,

где e_t- белый шум. Мы называем эту модель СС(q). Конечно, мы не наблюдаем значения e_t, поэтому она не является регрессией в обычном смысле. В этих моделях каждое значение y_t может считаться взвешенным скользящим средним значением небольшого числа прошлых ошибок прогноза. Изменение параметров θ₁, ···, θq приводит к различным характеристикам временного ряда. Как и в случае авторегрессионных моделей, вариация ошибки e_t изменяет только масштаб ряда, но не характеристики.

Заметьте, что это можно написать любую стационарную модель АР (p) как модель СС (∞).

Например, используя повторные замены, мы можем продемонстрировать это для модели АР (1):

y_t = φ₁y_t−1 + e_t

= φ₁(φ₁y_t−2 + e_t−1) + e_t

= φ²y_t−2 + φ₁e^t−1+ e_t

= φ₁³y_t-3 + φ²e_t−2 + φ₁e^t−1+ e_t

И т.д.

При условии, что−1 <φ1 <1,значениеφkбудет уменьшаться по мере увеличения k. Таким образом, в конечном счете, мы получим:

yt= et+ φ1et−1 + φ1et−2 + φ1et−3 + · · · ,

процесс СС(∞).

Инвертируемые модели обладают некоторыми математическими свойствами, которые облегчают их использование в практике.  Ограничения инвертируемости аналогичны ограничениям стационарности:

•   для модели СС(1):  −1 < θ1  < 1;

• для модели СС(2): −1 < θ2 < 1, θ1 + θ2 < 1, φ2 − θ1 <  1;

•   для q ≥  3 используются более сложные условия.

С точки зрения оценки, модель СС невозможно оценить обычным МНК – требуются другие методы.

Модели ARIMA без  учета сезонной компоненты

Если мы объединим разности с авторегрессией и моделью скользящего среднего, мы получим несезонную модель ARIMA. ARIMA - акроним названия модели Auto Regressive Integrated Moving Average (авторегрессионная интегрированная со скользящим средним; «интеграция» в этом контексте означает действие, обратное взятию разностей). Полная модель может быть записана как:

=c+ φ1yt−1 + · · · + φpyt−p+ θ1et−1 + · · · + θqet−q+ et,         (1)

где - разностный ряд (разности могут последовательно браться несколько раз).

«Предикторы» в правой части включают, как значения yt с запаздыванием, так и ошибки с запаздыванием.

Данная модель называется ARIMA (p, d, q), где:

•   p = порядок авторегрессионной части;

•   d = порядок взятия разностей;

•   q = порядок части скользящего среднего значения.

Выбор соответствующих значений для p, d и q не является легкой задачей. Общепринятая практика – выполнение процедуры Бокса-Дженкинса, представленной на рисунке 1. Обратите внимание на то, что ACF и функция частной автокорреляции (PACF) полезны при выборе порядка модели ARIMA.[7]Автоматизированный алгоритм выбора порядка модели ARIMA имеется в R:функцияauto.arima ()в прогнозной библиотеке.

Важно отметить, что константа c оказывает важное воздействие на долгосрочные прогнозы, полученные с использованием этих моделей:

Если c=0 и d=0, долгосрочные прогнозы будут сходиться к нулю.

Если c=0 и d=1, долгосрочные прогнозы будут сходиться к константе, отличной от нуля.

Если c=0 и d=2, долгосрочные прогнозы будут представлять прямую линию.

Если c/ = 0 и d=0, долгосрочные прогнозы будут сходиться к среднему значению данных.

Если c/ = 0 и d=1, долгосрочные прогнозы будут представлять прямую линию.

Если c/ = 0 и d=2, долгосрочные прогнозы будут повторять квадратический тренд.

Рисунок 1: Общий процесс прогнозирования с использованием модели ARIMA. Рисунок из книги Хиндмана и Атанасопулоса (2014 г.).

Сезонные модели ARIMA

Сезонная модель ARIMA формулируется путем введения дополнительных сезонных условий в модели ARIMA, с которыми мы уже познакомились.

Сезонная часть модели АР или СС проявляется в виде сезонных лагов функций автокорреляции. При выборе соответствующих порядков для сезонной части модели ARIMA ограничьте внимание сезонными лагами. Процедура моделирования почти не отличается от процедуры для несезонных данных, за исключением того, что мы должны выбрать сезонную АР и условия  СС, а также несезонные компоненты модели.

Это записывается следующим образом:

Рисунок  2: ARIMA

Рисунок  3: Сезонная ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)

2.3.3         Регрессионные модели с ошибками ARIMA 

Регрессионные модели допускают включение полезной информации из переменных предикторов, но не допускают сложную динамику временных рядов, которая может обрабатываться в моделях ARIMA. Другой класс моделей, которые могут использоваться в прогнозировании, является общим классом динамических регрессионных моделей. Начнем с простого объединения регрессионных моделей и моделей ARIMA, чтобы получить регрессию с ошибками ARIMA.

Начнем с регрессионных моделей формы:

yt= β0 + β1x1,t+ β2x2,t+ · · · + βkxk,t+ et

где прогнозируемая переменная  y является линейной функцией переменных  x1, · · · , xk предиктора k, и et – член, представляющий ошибки, который считается некоррелирующимся (например, белый шум).

Здесь, однако, мы разрешим, чтобы ошибки из регрессии содержали автокорреляцию.

Чтобы подчеркнуть это изменение в перспективе, заменим в уравнении et  наnt  .

Предположим, что ряд ошибок nt соответствует модели ARIMA. Например, если nt соответствует модели ARIMA(1,1,1), мы можем записать:

yt= β0 + β1x1,t+ · · · + βkxk,t+ nt,

(1 − φ1B)(1 − B)nt= (1 + θ1B)et,

где et- ряд белого шума.

Кроме того, при оценке регрессии с ошибками ARMA, в первую очередь необходимо, чтобы все переменные в модели были стационарными. Таким образом, мы сначала должны убедиться, что y_t и все предикторы, судя по всему, являются стационарными. Если мы проводим оценку на модели, но при этом какие-либо из них нестационарны, оцениваемые коэффициенты могут быть неправильными.

Если все переменные в модели стационарны, то в качестве остатков нам остается рассматривать только ошибки ARMA. Регрессионная модель с ошибками ARIMA эквивалентна регрессионной модели в разностях, с ошибками ARMA. Например, если взять разности от вышеупомянутой регрессионной модели с ошибками ARIMA (1,1,1), мы получаем модель

где

что является регрессионной моделью в разностях с ошибками ARMA.

Функция Арима() в R вводит в регрессионную модель ошибки ARIMA, если используется аргумент xreg. Аргумент порядка определяет порядок модели с ошибками ARIMA. Если задано взятие разностей, то разности берутся по всем переменным в регрессионной модели до проведения оценки с помощью модели.

В некоторых случаях, воздействие предиктора, включенного в регрессионную модель, может иметь временное смещение. В таких ситуациях мы должны допускать возможность лага воздействия предиктора. Предположим, что у нас есть только один предиктор в модели. Тогда модель, которая допускает воздействия с лагом, может быть записана, как

yt= β0 + γ0xt+ γ1xt−1 + · · · + γkxt−k+ nt

где nt - процесс ARIMA.

2.3.4         Эмпирическая стратегия: краткий обзор

Вкратце, эмпирическая стратегия выбора модели для прогнозирования переменных рынка труда включает следующее:

•   Анализ свойств временного ряда прогнозируемых переменных.

•   Определение порядка интеграции, которая может привести к необходимости преобразования требуемых оригинальных данных, прежде, чем проводить оценки на модели (первая разность, сезонная разность, логарифмическое преобразование…).

•   Определение предикторов (с любым лагом) на основе корреляций и исследовательской регрессии.

•   Если ни один из предикторов не имеет значительной связи с прогнозируемой переменной → реализовать модель ARIMA, используя процедуру Бокса-Дженкинса.

•   Если есть значительные предикторы (с любым лагом) → реализовать регрессионную модель.

•   Если диагностика остатков регрессионной модели дала хорошие результаты → использовать регрессионную модель для прогнозирования.

•   Если множественная регрессия показывает плохие результаты диагностики (например, остатки по-прежнему автокоррелируются), реализовать регрессионную модель с ошибками ARMA.

•   Стараться сохранять модели максимально простыми!

2.4 Оценка прогнозирования

Задача прогнозирования состоит в предсказании будущего с максимальной точностью, на основе всей имеющейся информации, включая исторические данные и знание любых будущих событий, которые могут повлиять на прогнозы.

Наша цель состоит в том, чтобы прогнозировать будущие значения экономических переменных (таких, как занятость), поэтому от нас требуется оценка модели прогнозирования, не обязательно с привлечением экономической теории, но с максимальным вниманием нахождению реалистических значений.

В этом отношении важно не перепутать корреляцию с причинной обусловленностью, или причинную обусловленность с прогнозированием. Переменная x может быть полезна для прогнозирования переменной y, но это не означает, что x является причиной y. Даже если x является причиной y, взаимосвязи между ними могут быть более сложными, чем простая причинная связь. Корреляции полезны для прогнозирования, даже если причинная связь между этими двумя переменными отсутствует.

Цифры, которые мы пытаемся предсказать, неизвестны (иначе мы бы их не прогнозировали!), и таким образом, мы можем рассматривать их, как случайные переменные. Например, общая занятость в следующем квартале может находиться в некотором диапазоне возможных значений, и пока мы не просуммируем фактическую занятость в конце квартала, мы не знаем, каково будет ее значение. Поэтому, пока мы не знаем занятость в следующем квартале, она остается случайной величиной.

Получая прогноз, мы оцениваем середину диапазона возможных значений, которые могла принять случайная переменная. Очень часто прогноз сопровождается интервалом предсказания, дающим диапазон значений, которые случайная переменная может принимать с относительно высокой вероятностью. Например, 95%-й интервал предсказания содержит диапазон значений, которые должны включать фактическое будущее значение с вероятностью 95%.

Прогноз всегда основан на той информации, которая имеется на момент прогнозирования. Предположим, что мы обозначили всю информацию, которую мы наблюдали во время t как INFt, и хотим предсказать yt+1. Мы можемзаписатьyt+1|INFt, что означает «случайную переменную yt+1,с учетом того, что мы знаем INFt». Набор значений, которые эта случайная переменная могла принять, наряду с их относительными вероятностями, известен как «распределение вероятности»yt+1|INFt. В прогнозировании его называют распределением прогноза.

Когда мы говорим о «прогнозе», мы обычно имеем в виду среднее значение распределения прогноза, и помещаем «крышку» над y, чтобы показать это: yˆt+1|t. Когда мы прогнозируем временной ряд, мы можем сделать другую запись: Ft+h = Ft, h , указывающую, что это прогноз на период t + h, основанный на информации, доступной в момент времени t; h - так называемый, горизонт прогноза, и Ft, h – прогноз h-шагов вперед.

В большинстве ситуаций прогнозирования, по мере приближения события, вариация величины, которую мы предсказываем, уменьшается. Другими словами, чем дальше вперед мы предсказываем, тем большую неопределенность мы имеем.

Обратите внимание на то, что модель, которая хорошо соответствует данным, не обязательно дает хороший прогноз. Важно оценить точность прогноза, используя подлинные данные. Не достаточно убедиться в том, что модель хорошо соответствует историческим данным. Точность прогнозов может быть определена только путем рассмотрения, насколько хорошо модель показывает себя с новыми данными, которые не использовались при подгонке модели.

Тренировочная совокупность

При оценке эффективности прогнозирования, обычно используют часть доступных данных для подгонки (тренировочные тесты, сформированные из T −s наблюдений, например,  для t от 1 до T − s), а остальная часть данных используется для тестирования модели (тестовые наборы, сформированные из s наблюдений, например, для t от T − s + 1 до T). Поэтому, тестовые данные могут использоваться для оценки того, насколько хорошо модель будет прогнозировать при использовании новых данных. Размер тестового набора, как правило, составляет приблизительно 20% всей выборки, хотя это значение зависит от того, насколько продолжительна выборка, и насколько далеко вперед Вы хотите предсказывать. Размер тестового набора в идеальном случае должен быть, по крайней мере, настолько большим, насколько велик требуемый максимальный горизонт прогноза. Тренировочный набор также называют «данными в выборке», а тестовый набор - «данными вне выборки».

Для оценки прогноза используется несколько мер. Их можно разделить на масштабно-зависимые и масштабно-независимые меры. Пусть y_i обозначает i-тое наблюдение, а yˆ_i обозначает значение прогноза, равное y_i. Ошибка прогноза выражается просто как e_i = y_i− yˆ_i, и находится в том же масштабе, что и данные.[8]

Масштабно-зависимые

Меры точности, которые основаны на e_i, зависимы от масштаба и не могут использоваться для сравнений между рядами, которые измеряются различных масштабах.

Две наиболее распространенные масштабно-зависимые меры основаны на абсолютных ошибках или квадратических ошибках:

Средняя абсолютная ошибка:  MAE = mean,

Среднеквадратическая ошибка: RMSE=

Масштабно-независимые

Наиболее распространенной масштабно-независимой мерой является средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE), которая основана на ошибках в процентах. Процентная ошибка определяется как pi = 100ei/yi. Преимуществом процентных ошибок является их независимость от масштаба, поэтому они часто используются при сравнении эффективности прогнозов между различными наборами данных.

MAPE определяется как:

средняя абсолютная процентная ошибка: MAPE = mean (|pi|)

Недостаток мер, основанных на процентных ошибках, заключается в том, что они имеют бесконечное или неопределенное значение, если y_i = 0 для любого i в интересующий нас период, и экстремальные значения, когда какое-либо y_i близко к нулю.

Средняя абсолютная масштабированная ошибка (MASE), предложенная Хиндманом и Кехлером (2006), представляет хорошую альтернативу использованию ошибок в процентах при сравнении точности прогнозов между рядами в различных масштабах. Они предложили масштабировать ошибки на основе тренировочных МАЕ, полученной из простого метода прогнозирования. Удобным способом определения масштабированной ошибки является использование наивных прогнозов[9]:

Где для несезонных временных рядов (простейший случай), e¯naiveопределяется как:

а для сезонных в ременных рядов, как:

где– последнее наблюдавшееся значение в тренировочном наборе для того же сезона yT−s+j.Поскольку и числитель и знаменатель содержат значения в масштабе оригинальных данных, q_j независим от масштаба данных. Масштабированная ошибка будет меньше единицы, если она является результатом лучшего прогноза, чем средний наивный прогноз, вычисленный по тренировочным данным. С другой стороны, она будет больше единицы, если прогноз хуже, чем средний наивный прогноз, вычисленный по тренировочным данным.

Средняя абсолютная масштабированная ошибка определяется как

MASE = mean(|qj|)

Аналогично, средняя квадратическая масштабированная ошибка (MSSE) может быть определена путем возведения в квадрат ошибок (из тренировочных и тестовых данных), вместо использования их абсолютных значений.

3              Прогнозирование результатов для периода 2014–2016 гг.

3.1           Обработка данных

Прогноз будет основан на имеющихся данных, используя не только ежеквартальные ряды по рынку труда, предоставляемые Национальным статистическим комитетом (НСК) в Обследовании занятости и безработицы, но также и макроэкономические индикаторы, представляемые в Национальных счетах. В целом, наша основная стратегия состояла в том, чтобы максимизировать использование всей доступной информации, в попытке связать как можно больше индикаторов рынка труда с макропеременными Национальных счетов.

Первый набор данных состоит из рядов занятости и безработицы, полученных из Обследования занятости и безработицы[10], проводимого Отделом статистики труда и занятости Национального статистического комитета[11] Кыргызской Республики. Он также включает квартальные ряды среднемесячной зарплаты и безработных, зарегистрированных государственными органами занятости.

В частности, наша разработка была выполнена на основе квартальных данных по занятости и безработице, начиная с первого квартала 2004 г., и до последних доступных данных на момент реализации модели, т.е., последнего квартала 2013 г. Более подробно – в наш анализ были включены, как общая занятость, так и ее разбивка по главным секторам экономики: имеющиеся данные позволили произвести разделение по четырем главным секторам экономической деятельности, т.е., сельскому хозяйству, промышленности, строительству и услугам. Модели были построены для необработанных данных, т.е. без коррекции на сезонные колебания.

Определение занятости и безработицы соответствовало определению, данному в интегрированном выборочном обследовании бюджетов домашних хозяйств и рабочей силы.

Вторая часть информации состоит из некоторых макроиндикаторов, полученных из Национальных счетов Кыргызской Республики (НС КР)^[12]. В частности после тщательного рассмотрения всего набора предоставленных индикаторов, мы составили выборку потенциальных ключевых переменных, которые было бы полезно интегрировать в структуру прогнозирования. В результате был составлен окончательный набор макропеременных, которые включают:

(i)                 совокупный ВВП(объем);

(ii)               добавленная стоимость по основным экономическим секторам(объем);

(iii)             частное потребление(объем);

(iv)             общественное потребление (объем);

(v)               валовые инвестиции (объем);

(vi)             экспорт товаров и услуг(объем);

(vii)           импорт товаров и услуг(объем).

Для получения агрегатов в реальном выражении, т.е. в объемах, номинальные агрегаты были скорректированы по ценам путем использования соответствующих дефляторов из НСК КР. Данные о дефляторах публикуются ежеквартально, и представляют собой индексы цен агрегатов относительно предыдущего периода (например, соответствующего квартала предыдущего года). Агрегаты в «постоянных ценах» были получены методом «линковки цепочек», который включает следующие шаги:^[13]

-     вычисляются агрегаты в ценах предыдущего периода (агрегат в текущих ценах, деленый на соответствующий дефлятор);

-     вычисляются изменения в агрегатах между предыдущим и текущим периодом в ценах предыдущего периода (в результате этой процедуры получаем индекс объемов Ласпейреса для периода между t − 4 и t);

-     эти изменения соединяются в цепочку (т.е., каждое умножается на последующее) отдельно по каждому агрегату (что в результате дает цепочечный индекс объема);

-     и, наконец, чтобы обеспечить ряды объема на уровнях, ряд умножается на значение агрегата в текущих ценах соответствующего квартала базового года, которым, в нашем случае, является 2004 год.

Обратите внимание на то, что эта процедура эквивалентна делению агрегата в текущих ценах на цепочный индекс цен (т.е. умножающий каждый дефлятор на последующий). Еще раз отметим, данные были предоставлены на квартальной основе, и не подвергались коррекции для учета сезонности. На момент прогноза они охватывали период с первого квартала 2004 г. до четвертого квартала 2014 г., т.е., на четыре квартала вперед относительно ряда рынка труда.

Исходя из имеющихся данных, можно получить меру производительности труда, определяемую, как мера объема продукции, произведенной на одного наемного работника. Мера объема продукции здесь определяется, как валовая добавленная стоимость в постоянных ценах.

3.2          Квартальныепрогнозырынкатруданапериод2014-2016 г.

3.2.1          Безработица

Поквартальный ряд показателя безработицы охватывает период с 2004по 2013 год. Мы хотим построить прогнозы безработицы на 12 кварталов вперед. Необработанные квартальные данные за период 2004–2013 гг. показаны на рисунке 4. Приближенное разложение ряда безработицы на тренд-цикл, сезонность и случайную компоненту показано на рисунке 5.

Общая безработица в Кыргызстане с 2004 по 2013 г.—Квартальные данные

2004        2006               2008               2010               2012               2014

Год

Рисунок 4: Квартальный уровень безработицы в Кыргызстане в период с2004 по2013 г.

Данные показывают сильную постоянную сезонность, что подтверждается автокорреляционными функциями (см. рисунок 6). Поэтому, начинаем вычитать сезонную разность. В нашем случае сезонная разность - разница между наблюдением и соответствующим наблюдением за такой же квартал предыдущего года:

yt'= yt − yt−4.

Поскольку мы вычитаем наблюдение, сделанное с лагом в 4 периода, такую разность также называют «разностью с лагом −4». Данные со взятой сезонной разностью показаны на рисунке 7, вместе с функциями автокорреляции.

Разложение мультипликативного временного ряда

2004       2006                2008                2010                2012                2014

Время

Рисунок5: Мультипликативное разложение ряда безработицы на ее компоненты

Данные, судя по всему, достаточно стационарны, и поэтому не нуждаются в дополнительном раунде взятия разностей. Однако всегда существует определенная степень субъективной оценки в выборе разностей, которые следует применить. Хотя это и не имеет особого значения, в тех случаях, когда ряд имеет сильный сезонный характер, рекомендуется сначала взять сезонную разность, потому что получившийся ряд может быть стационарным, и, таким образом, отпадет необходимость в дополнительных процедурах взятия разностей.

Поскольку отсутствует определенность в отношении стационарности ряда, мы переходим к взятию разностей второго порядка:

Данные после взятия разностей второго порядка показаны на рисунке 8.

Ряд безработицы и его автокорреляционные функции

2004         2006               2008               2010               2012               2014

Год

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8      10  12

Лаг                                                                Лаг

Рисунок 6: Квартальные уровни бедности в Кыргызстане в период с2004 по 2013 г. и функции автокорреляции

Безработица после взятия сезонной разности

2006            2008                  2010                  2012          2014

Рисунок7:Безработица в Кыргызстане в период с 2004 г. по 2013г. после взятия сезонной разности

Безработица после взятия разностей второго порядка

2006            2008                   2010                   2012                              2014

Рисунок 8:Безработица в Кыргызстане в период с 2004 по 2013 г. после взятия разностей второго порядка.

Из  верхней диаграммы на рисунке 8 видно, что ряд является стационарным, однако существует риск излишнего взятия разностей, которое приведет ко многим статистически значимым автокорреляциям. Это становится очевидным при рассмотрении соответствующих автокорреляционных функций на нижних диаграммах рисунка 8.

Оба порядка разностей в нашем случае могут быть приняты во внимание при прогнозировании в демонстрационных целях.[14]

Структура кросс-корреляции для квартальных изменений ряда показывает (см Таблицу 1), что имеющиеся макроиндикаторы плохо коррелируют в разностях с рядом безработицы с любым лагом. Поэтому, они не вносят полезного вклада в объяснение временного характера изменений безработицы. Дальнейший анализ с регрессом сезонных изменений безработицы по сезонным изменениям макроэкономических переменных не показал присутствия значимых коэффициентов. Поэтому, прогнозирование безработицы базируется исключительно на внутренних свойствах самого ряда. Таким образом, модель для этой переменной будет сезонной моделью ARIMA.

Выбор сезонной модели ARIMA учитывает оба варианта взятия разностей:

d = 0 и D = 1;

d = 1 и D = 1.

Значительный пик в лаге 4 автокорреляционных функций на рисунке 7 указывает на сезонный компонент СС (1), который должен быть включен в сезонную часть модели. Таким образом, мы начинаем подгонять следующие модели: ARIMA (0, 0, 0) (0, 1, 1) _[4], и ARIMA (0, 1, 0) (0, 1, 1)_[4], наряду с одной вариацией ARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1)_[4]. В конечном счете, мы добавили еще модель с дрейфом ARIMA (0, 0, 0) (0, 1, 1)_[4], которая включает составляющую дрейфа/тренда, с тем, чтобы увидеть, будет ли среднее ряда смещаться со временем немного вверх, как это можно предположить из изучения исходных данных. Фактически, даже при том, что взятие разности удаляет тренды, у модели ARIMA (0, 0, 0) (0, 1, 1)_[4], может быть тренд, если она содержит константу, которая отлична от нуля и равна среднему данных после первого взятия разности.

Таблица1:Структуракросс-корреляцииквартальныхизменений между безработицей и потенциальными макроэкономическими предикторами.

После проведения оценки[15], все эти четыре модели проходят диагностику остатков и автокорреляционный тест Льюнга-Бокса, направленный на подтверждение случайности остатков. Поэтому, все эти модели - возможные кандидаты на прогнозирование.

«Лучшая» модель из числа имеющихся будет выбрана на основе скорректированного информационного критерия Акаике (AIC_c)[16] и их эффективности прогнозирования, что включает оценку спектра сводных мер точности прогноза, как, например, среднеквадратическая ошибка между наблюденными данными и прогнозными значениями в тестовом наборе (вне выборки).

Таким образом, мы проводим тест на потенциальную эффективность прогнозирования имеющихся конкурирующих моделей. С этой целью имеющийся ряд разделяется на набор тренировочных данных для оценки модели, и набор тестовых данных для оценки прогноза. Размер набора тестовых данных, как правило, составляет приблизительно 20% всей выборки, даже если это значение зависит от протяженности горизонта прогноза, и оно не должно быть больше, чем тренировочная часть ряда.

Обратите внимание на то, что конкурирующие модели, которые будут сравниваться с использованием значений AICc, должны иметь одинаковый порядок взятия разностей. Это требование подразумевает, что из четыре имеющихся моделей, только для трех моделей может проводиться сравнение значений AIC_c (см. Таблицу 2).

С точки зрения подгонки, модель с d = 0 и D = 1 с дрейфом, судя по всему, является лучшей, по сравнению с другими моделями-кандидатами тем же порядком взятых разностей. Вычисленные значения AIC_c показаны в Таблице 2. Модель ARIMA (0, 0, 0) (0, 1, 1)[4] с дрейфом также проходит все остаточные тесты (со значением p в тесте Льюнга-Бокса, равным0,76).

Таблица 2:СравнениеконкурирующихмоделейссезоннойкомпонентойССис одинаковым порядком взятых разностей: скорректированный информационный критерий Акаике.

Модель, которая хорошо соответствует данным, не обязательно обеспечивает хороший прогноз. Поэтому, мы продолжим наше упражнение, и сравним наши оригинальные четыре конкурирующие модели, используя тестовый набор.[17]Первоначально используем в качестве тестового набора последние восемь кварталов ряда. Таким образом, мы подгоним все выбранные модели, используя данные с 1-го кв. 2004 по 4-й кв. 2011 года, и получим прогнозы количества безработных на период с 1-го кв. 2012 по 4-й кв. 2013 года. Результаты для мер точности прогнозирования представлены в Таблице 3.

Таблица3: Оценка с помощью тестового набора: сравнение проводится по среднеквадратической ошибке (RMSE),средней абсолютной масштабированной ошибке (MASE) и средней абсолютной ошибке в процентах(MAPE).

Результаты в Таблице 3 приводят нас к выбору модели ARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1)[4] без дрейфа, которая также проходит все остаточные тесты (с p-значением в тесте Льюнга-Бокса, равным 0,70). Два различных критерия выбора модели не приводят к какой-либо одной модели (сравните результаты Таблицы 2 и Таблицы 3), и тогда требуются дальнейшие исследования. Если мы имеем дело с кратковременным рядом, то тренировочный и тестовый наборы не достаточно длинны, чтобы сделать стабильные выводы. Одно возможное решение (Хиндман и Атанасопулос, 2013) состоит в том, чтобы использовать «перекрестную проверку временного ряда», которая, по существу, заключается в использовании многих различных тренировочных наборов, каждый из которых содержит на одно наблюдение больше, чем предыдущий, при этом соответствующий тестовый набор сокращается на одно наблюдение. Меры точности прогнозирования вычисляются по каждому тестовому набору, и результаты сравниваются. Мы выполняем это упражнение для моделей ARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1)[4] с дрейфом и без дрейфа, являющихся последними конкурентами. Меры точности прогноза, полученные при каждом моделировании, приводят к выбору модели ARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 1)[4] с дрейфом. Ее остатки представлены на рисунке 9. Все пики теперь находятся внутри пределов значимости, и таким образом, остатки, судя по всему, являются белым шумом. Тест Льюнга-Бокса также показал, что остатки не имеют оставшихся автокорреляций.

Остатки подогнанной моделиARIMA (0,0,0)(0,1,1)[4] с дрейфом

2004         2006               2008               2010               2012               2014

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8      10  12

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 9: Остатки подогнанной модели ARIMA (0,0,0)(0,1,1)_[4] с дрейфом.

Наконец, оцененная сезонная модель ARIMA:

∆4yt=yt−yt−4=0.712+at−0.548at−4

готова для прогнозирования. Прогнозы, построенные с помощью модели, на последующие три года, показаны на рисунке 10.

Прогнозыбезработицы с использованием модели (0,0,0)(0,1,1) [4] с дрейфом

2004  2006         2008         2010         2012         2014         2016

Рисунок 10:  Прогнозы уровня безработицы с использованием модели ARIMA(0, 0, 0)(0, 1, 1)[4]  с дрейфом, с интервалами предсказаний 80% и 95%.

Прогнозные значения, а также их 80% и 95% интервалы предсказаний, представлены в Таблице4.

Таблица4: Прогнозные значения уровня безработицы (тыс.) с использованием модели ARIMA(0, 0, 0)(0, 1, 1)[4]  с дрейфом, с интервалами предсказаний 80% и 95%.

3.2.2         Общая занятость

Квартальный ряд занятости, охватывающий период с 2004 по 2013 г., представлен на рисунке 11. Грубое разложение ряда занятости на тренд-цикл, сезонность и случайный компонент показано на рисунке 12. Ряд, судя по всему, является нестационарным, с сильной сезонностью, как ясно видно из рисунка 13.

Общая занятость в Кыргызстане с 2004 по 2013 г. – квартальные данные

Год

Рисунок 11:  Квартальные данные по занятости в Кыргызстане с 2004 по 2013 г.

Ввиду присутствия сезонности, мы, в первую очередь, берем сезонную разность. Данные после взятия сезонной разности показаны на рисунке 14. Теперь ряд выглядит стационарным и таким образом, мы не берем дополнительную первую разность, чтобы избежать чрезмерного взятия разностей.

Наши модели-кандидаты для прогнозирования занятости представляют собой модели, в которых зависимость между занятостью, объемом производства, заработной платой и другими макроэкономическими переменными, такими, как производительность, иллюстрируется посредством множества линейных регрессионных моделей, где занятость представлена в виде зависимой переменной, являющейся условной функцией занятости.

Чтобы построить модель для прогнозирования занятости, начнем с рассмотрения зависимости между рядом занятости после взятия разности и макроэкономическими переменными после взятия разности, имеющими экономическое значение в отношении ряда занятости. Обратите внимание на то, что некоторые экономические агрегаты имеются с опережением(ВВП, добавленная стоимость, зарплата..), в то время как другие имеются только на тот же момент времени, что и занятость. В связи с этим, при прогнозировании занятости, необходимо прогнозировать все эти переменные. Требуется более детальное рассмотрение переменных производительности. Фактически, занятость, произведенный продукт и производительность строго взаимосвязаны.

Разложение мультипликативного временного ряда

Годы

Рисунок 12: Мультипликативное разложение ряда занятости на компоненты.

Если бы мы могли точно предсказать объем производства и производительность труда, то занятость можно было бы получить просто как соотношение между объемом производства и производительностью. Поэтому, если бы мы использовали переменные производительности и ВВП в качестве предикторов в регрессионной модели занятости, то, вполне возможно, обеспечили бы очень хорошую подгонку. Однако с точки зрения прогнозирования, проблема получения хорошего прогноза потребности в рабочей силе переходит в проблему получения хорошего прогноза производительности. Если для прогнозирования производительности требуется модель ARIMA, то более эффективно применить модель ARIMA непосредственно к ряду занятости. Исходя из этого, настоятельно рекомендуется не использовать производительность как предиктор занятости.

Если ряды нестационарны, рекомендуется производить оценку модели в разностях, для чего необходимо взять разности всех переменных, которые включены в модель, с тем, чтобы сохранить форму зависимости между результатом и предикторами. В Таблице 5 приведены структуры кросс-корреляции между рядом занятости после взятия сезонной разности и рядами квартальных изменений потенциальных предикторов.

Ряд занятости и его автокорреляционные функции

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 13: Квартальная занятость в Кыргызстане за период с 2004 по 2013 г. и ее автокорреляционные функции.

Изучение структуры корреляции ряд после взятия сезонной разности позволяет предположить, что –за исключением некоторых значений занятости с лагами–ВВП, инвестиции, зарплата и производительность, взятые с различными лагами, значительно связаны с занятостью. Обратите внимание на то, что при данном количестве имеющихся наблюдений, мы можем утверждать, что коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля при 5-процентном уровне значимости для значений, больше 0,29 (в абсолютном выражении), и для значений больше 0,4 при 1-процентном уровне значимости. Стратегия, которую мы использовали для выбора наилучших предикторов – это обратная пошаговая регрессия. Мы начали с модели, содержащей все потенциальные предикторы, то есть, предикторы после взятия разностей и с различными лагами.

Затем мы по одному исключали предикторы, если они оказывались статистически незначимыми, и если не улучшали точность прогнозирования. По причине, изложенной выше, в модели прогнозирования переменные производительности не принимались во внимание.

В результате обратной пошаговой процедуры, окончательная модель включает, в качестве экзогенных переменных, текущий ВВП после взятия сезонной разности, и инвестиции после взятия сезонной разности с лагом в один период. Диагностика остатков подогнанной модели частично не удовлетворительна, так как остатки все еще автокоррелируются. Затем мы вводим и оцениваем динамическую регрессионную модель для прогнозирования будущей динамики уровней занятости в Кыргызской Республике, которая дает возможность обработки сложной динамики временного ряда с ошибками ARIMA. После того, как мы получаем стационарный ряд, мы должны указать структуру ARMA для ошибок в «модели в разностях». Фактически, мы теперь разрешаем, чтобы члены, представляющие ошибки из регрессии, содержали автокорреляцию, и, таким образом, придерживаемся модели ARMA.

Как автокорреляционная функция(ACF), так и частная автокорреляционная функция(PACF) ряда после взятия сезонной разности (см. рисунок 14), показывают значительный пик в лаге 1, указывая на наличие некоторых дополнительных компонент в несезонной части модели.

Занятостьпосле взятия сезонной разности

2006            2008                  2010                  2012                  2014

Рисунок14:Занятостьпосле взятия сезонной разности и ее автокорреляционные функции

Таким образом, возможными моделями-кандидатами являются динамические регрессионные модели с ВВП (с лагом 0) и инвестициями (с лагом 1) в качестве внешних предикторов, включающие авторегрессионные ошибки AR(1), либо AR(1) с ошибками дрейфа или ошибки AR(2). Получающиеся значения остатков во всех моделях-кандидатах проходят тест на независимость. Однако дальнейшее изучение показывает, что модель, содержащая члены ошибок AR(1) с дрейфом, имеет минимальное значение AIC_c, по сравнению с моделями с членами ошибок AR(1) и AR(2) без дрейфа. Кроме того, значимость экзогенной переменной выражена более явно. Исходя из этих соображений, мы продолжаем работать с моделью AR(1) с дрейфом для ошибок. Получающиеся остаточные значения представлены на рисунке 15. Тест Льюнга-Бокса подтверждает, что остатки не коррелируются(p-значение=0.534).

Таблица5:Структура кросс-корреляции квартальных изменений между занятостью и потенциальными макроэкономическими предикторами.

оцененная модель для общей занятости выглядит следующим образом:

∆4yt=yt−yt−4=107.18∆4log(ВВП)t−65.67∆4log(INV)t−1+ηt

ηt=−0.482ηt−1+7.320+at

где зависимая переменная yt– занятость в тыс. человек, ВВП (ВВП) и инвестиции (INV) – реальные значения в млн. сомов, взятые в логарифмической форме (поэтому сезонная разность приближенно равна темпу роста), и at– ошибки белого шума. Используя эту оцененную модель, мы прогнозируем занятость на период с 1-го кв.2014 г. по 4-й кв. 2016 г.

Рисунок15:Остатки подогнанной модели для ряда занятости

Для первого периода прогнозирования (1 кв. 2014– 4 кв. 2014) значения ВВП и инвестиций имеются в наличии. Для остального периода прогнозирования с 1-го кв. 2015 по 4-й кв. 2016 прогнозы будут возможны, только если мы спрогнозируем будущие значения изменений ВВП и инвестиций. Прогноз по ВВП был получениз МЭ. Реальные значения были получены с использованием прогнозированных дефляторов, а также из МЭ. Прогноз по инвестициям основан на сезонных моделях ARIMA, класс которых, описан в Разделе 2. Выбранная модель для инвестиций - ARIMA (0,0,1)(0,1,0)[4] с дрейфом, и ARIMA (0,1,0)(0,1,1)без дрейфа, соответственно, для ВВП и зарплаты. Значения прогноза с 95-процентнымиинтервалами предсказания представлены в Таблице 6 и на Рисунке 16.

Важно отметить, что интервалы предсказания в этой модели не принимают во внимание неопределенность в прогнозах предикторов, и поэтому они, вероятно, занижены.

Таблица6:Прогнозные значения занятости(тыс.), полученные путем регрессирования квартальных изменений занятости по квартальным изменениям ВВП и квартальным изменениям инвестиций с лагом, с членами ошибок AR(1) и 95-процентными интервалами предсказаний. Период: 1-кв.2014– 4-й кв. 2016 г.

Прогнозы общей занятости

2004  2006         2008         2010         2012         2014         2016

годы

Рисунок16:Прогнозы, полученные путем регрессирования квартальных изменений занятости по квартальным изменениям ВВП и инвестиций с лагом,  с использованием модели с ошибками AR(1), с указанием 95-процентных интервалов предсказаний. Период: 1-кв. 2014 – 4-й кв. 2016 г.

3.2.3         Занятость по секторам деятельности

Аналогичным образом, мы прогнозируем занятость для четырех главных секторов –сельского хозяйства, промышленности, строительства и услуг.

Сельское хозяйство

Данные, очевидно, нестационарные с сильной сезонностью (см. рисунок 17), в связи с чем, мы сначала берем сезонную разность. Грубое разложение ряда занятости в сельском хозяйстве на тренд-цикл, сезонную и нерегулярную компоненту показано на рисунке 18.Данные после взятия сезонной разности (см. Рисунок 19)достаточно стационарные, поэтому дополнительные раунды взятия разностей не требуются.

Ряд занятости и его автокорреляционные функции

2004         2006               2008               2010               2012               2014

годы

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8      10  12

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 17:  Ряд занятости в сельском хозяйстве и его автокорреляционные функции

Изучение структуры корреляции для квартальных изменений ряда показывает, что макроэкономические индикаторы не вносят вклада в объяснение его временного характера, за исключением ряда производительности труда[18]. Фактически, как показано в Таблице 7, все коэффициенты намного меньше0,4, что свидетельствует о слабой и незначительной корреляции. В связи с этим, прогноз занятости в сельском хозяйстве основывается исключительно на внутренних свойствах ряда, и применяется сезонная модель ARIMA.

Разложение мультипликативного временного ряда

2004       2006                2008                2010                2012                2014

Время

Рисунок 18: Мультипликативное разложение ряда занятости на его компоненты

Исходя из свойств временного ряда, мы выбрали ARIMA (0, 0,1)(0,1,1)_[4] с дрейфом.

Оцененная сезонная модель ARIMA:

∆4yt=−2.804+at+0.595at−1−0.840at−4

которая проходит необходимые проверки. Остатки в подогнанной модели ARIMA представлены на рисунке 20, показывающем, что остатки, судя по всему, являются белым шумом. Прогнозы, полученные с помощью модели на последующие три года, показаны на рисунке 21.

Занятость в сельском хозяйстве после взятия сезонной разности

2006            2008                  2010                  2012                  2014

Рисунок 19: Занятость в сельском хозяйстве после взятия сезонной разности и ее автокорреляционные функции

Таблица7:Структура кросс-корреляции квартальных изменений между занятостью в сельском хозяйстве и потенциальными макроэкономическими предикторами

Ошибки ARIMA

2004         2006               2008               2010               2012               2014

год

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8         10           12      

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 20: Остатки подогнанной модели ARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 1)[4] с дрейфом для ряда занятости в сельском хозяйстве

Прогнозы занятости в сельском хозяйстве

годы

Рисунок 21: Прогноз занятости в сельском хозяйстве с использованием ARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 1)[4] с дрейфом, с указанием 80-процентного и 95-процентного интервалов предсказаний

Промышленность

Ряд занятости в промышленности демонстрирует незначительную сезонность и довольно стабильный характер с течением времени (см. рисунок 22), в связи с чем, взятие разностей ряда не является строгим требованием. Однако характер сезонности (см. разложение ряда занятости в промышленности натренд-цикл, сезонность и нерегулярную компоненту на рисунке 23) указывает на то, что перед рассмотрением потенциальных корреляций с предикторами следует  убрать сезонные изменения. Данные после взятия сезонной разности и функции автокорреляции показаны на рисунке 24.

Ряд занятости и его автокорреляционные функции

2004         2006               2008               2010               2012               2014

год

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8      10  12

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 22:  Ряд занятости в промышленности и его автокорреляционные функции

Структура корреляции между ежеквартальными изменениями ряда занятости в промышленной и некоторыми макроэкономическими индикаторами показывает, что некоторые коэффициенты корреляции больше, чем 0.4 (см. Таблицу 8): зарплата, добавленная стоимость, частное потребление, инвестиции.

Разложение мультипликативного временного ряда

2004     2006                2008                2010                2012                2014

Годы

Рисунок23:Мультипликативное разложение ряда занятости на его компоненты.

Процедура выбора переменной сохраняет в качестве предикторов добавленную стоимость и зарплату, однако остатки регрессии должны быть сформированы моделью ARIMA. Порядок модели ARIMA выбирается в соответствии со значением AIC_c, что приводит нас к ARIMA (1,0,0)(0,1,0)[4].Оцененная модель для занятости в промышленности имеет следующий вид:

∆4yt=−13.47∆4log(ДС пром.)t+41.60∆4log(Зарпл)t+ηt

ηt=0.414ηt−1+at

Для первого периода прогнозирования (1- кв. 2014– 4-й кв. 2014 г.) значения зарплаты и добавленной стоимости имеются в наличии. Для остального периода с 1-го кв. 2015 по 4-й кв. 2016 г. прогноз занятости в промышленноститребуетпрогнозныхбудущихзначенийквартальныхизмененийзарплаты.

Занятость в промышленности после взятия сезонной разности

Рисунок24:Занятость в промышленности после взятия сезонной разности и ее автокорреляционные функции.

Прогноз по зарплате основан на модели ARIMA (0,1,0)(0,1,1)с дрейфом. Прогнозные значения добавленной стоимости в промышленности на период с 1-го кв. 2015 по 4-й кв. 2016 г. были предоставлены МЭ. Прогнозы, полученные с помощью модели, на последующие три года показаны на рисунке 25.

Таблица 8: Структура кросс-корреляции квартальных изменений между занятостью в промышленности и потенциальными макроэкономическими предикторами.

Прогноз занятости в промышленности

годы

Рисунок 25:  Прогноз занятости в промышленности, как функция текущей добавленной стоимости сектора и зарплат; с ошибками ARIMA(1, 0, 0)(0, 1, 0) и с указанием 95-процентного интервала предсказаний

Строительство

Графики ряда и его автокорреляционные функции (см. Рисунок 26) демонстрируют сильную сезонность, указывая на то, что по ряду строительства необходимо взять, по крайней мере, сезонную разность, чтобы получить стационарность. После взятия сезонной разности, ряд (см. Рисунок 28) представляется достаточно стационарным, поэтому дополнительные раунды взятия разностей не проводились.

Ряд занятости и его автокорреляционные функции

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 26: Ряд занятости в строительстве и его автокорреляционные функции.

Структура корреляции, представленная в Таблице9, показывает, что потенциальным предиктором является зарплата с различными лагами и  в меньшей степени, импорт и частное потребление.

В подогнанной регрессионной динамической модели единственным значимым предиктором является текущая зарплата. Поэтому мы производим регрессию квартальных изменений занятости в строительстве только по квартальным изменениям зарплаты, обеспечивая при этом соответствующую структуру для ошибок ARIMA. Выбранная модель ARIMA, которая включает эндогенные стационарные регрессоры и ошибки ARMA, представляет собой ARIMA (2,0,0)(1,1,0), которая выглядит следующим образом:

∆4yt=68.36∆4log(Зарпл)t+ηt

ηt=0.359ηt−1+0.452ηt−2−0.593ηt−4+at

и проходит требуемые проверки остатков.

Разложение мультипликативного временного ряда

Время

Рисунок 27: Мультипликативное разложение ряда занятости на его компоненты

Прогноз для строительного сектора возможен только в случае, если имеются значения будущих изменений в зарплате. Значения переменной «зарплаты» имеются в наличии для первого года прогноза, но нам необходимо прогнозировать их для следующих восьми кварталов (1-й кв. 2015 г. –4-й кв. 2016 г.). Наилучшей моделью ARIMA для прогнозирования зарплаты является ARIMA (0,1,0)(0,1,1) с дрейфом.

Занятость в строительстве после взятия сезонной разности

2006            2008                  2010                  2012                  2014

Рисунок 28:Ряд занятости в строительстве после взятия сезонной разности и его автокорреляционные функции.

С прогнозируемыми значениями зарплаты можно предсказать занятость в строительстве в течение всего периода с 1-го кв. 2014 г. по 4-й кв. 2016 г., ряд которой показан на Рисунке29.

Таблица 9:Структура кросс-корреляции квартальных изменений между занятостью в строительстве и потенциальными макроэкономическими предикторами.

Прогнозы занятости в строительстве

2004  2006         2008         2010         2012         2014         2016

Годы

Рисунок 29: Прогноз занятости в строительстве, как функция текущей зарплаты; с ошибкамиARIMA(2, 0, 0)(1, 1, 0), с указанием 95-процентных интервалов предсказаний.

Ряд занятости в услугах не показывает сильной сезонности, однако, очевидно не является стационарным (см. Рисунок 30). Грубое разложение ряда на его компоненты представлено на Рисунке 31. Обратите внимание на то, что оцененные сезонные коэффициенты очень близки к единице.

Ряд занятостииего автокорреляционные функции

2004         2006               2008               2010               2012               2014

Год

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8      10  12

Лаг                                                            Лаг

Рисунок30:Ряд занятости в услугах и его автокорреляционные функции

Таким образом, мы берем первые разности (т.е., разности с лагом 1), чтобы получить стационарные данные, показанные на Рисунке 32.

Структура кросс-корреляции, приведенная в Таблице10, указывает на следующие переменные, как потенциальные предикторы изменений между последовательными кварталами в оригинальном ряду: текущий ВВП, добавленная стоимость в сельском хозяйстве, добавленная стоимость в промышленности с лагом на один период, добавленная стоимость в услугах, частное потребление, инвестиции, экспорт и импорт.

Дальнейшее изучение динамических регрессионных моделей, вдохновленное принципом экономичности, привело к включению в качестве потенциальных предикторов только текущего значения ВВП и значений добавленной стоимости в промышленности с лагом. Оценка следующей динамической регрессионной модели:

∆1yt=5.512+21.951∆1log(ВВП)t−19.632∆1log(ДС Прм)t−1+at

Привела к хорошей подгонке и остаткам, которые в виде ряда не коррелируются, устраняя потребность в формировании ошибочных членов с помощью модели ARIMA (см. Рисунок 33).

Разложение мультипликативного временного ряда

2004          2006                2008                2010                2012                2014

Время

Рисунок 31: Мультипликативное разложение ряда занятости на его компоненты

Для получения прогноза занятости в услугах, нам необходимы будущие значения ВВП и добавленной стоимости в промышленности для периода с 1 кв. 2015 г. по 4-й кв. 2016 г. Эти значения могут быть получены из таблиц прогнозирования МЭ. Полученный в результате прогнозный ряд представлен на Рисунке 34.

Занятость в секторе услуг после взятия разностей

Лаг                                                            Лаг

Рисунок 32: Ряд занятости в услугах после взятия первой разности и его автокорреляционные функции.

Таблица 10: Структура кросс-корреляции квартальных  изменений между занятостью в услугах и потенциальными макроэкономическими предикторами.

Остатки регрессионной модели для услуг

0                      10                            20                            30

2        4      6      8      10                           12    2      4      6      8              10       12

Лаг                                                            Лаг

Рисунок33:Остатки регрессионной модели для прогнозирования занятости в услугах и ее автокорреляционные функции

Прогнозы занятости в услугах

2004  2006         2008         2010         2012         2014         2016

годы

Рисунок 34: Прогноз занятости в услугах, как функция текущего ВВП и добавленной стоимости в промышленности с лагом, с указанием 95-процентных интервалов предсказаний.

Выверка

Сумма рядов занятости по секторам должна быть равна ряду общей занятости. Так как мы проводили прогнозирование отдельно, необходимо согласовать по факту прогнозные значения. Сохраняя фиксированными прогнозы общей занятости, мы распределили несоответствия между прогнозом общей занятости и агрегатом секторных прогнозов пропорционально по каждому сектору. Эти несоответствия, несмотря на скромную величину, не являются пренебрежимо малыми, и составляют от 0,52% в 1-м квартале 2016 г. до к 3,25% в 3-м квартале 2016 г. Имеются другие варианты, которые могут быть далее обсуждены. Таблица 11 показывает прогноз занятости в четырех секторах после коррекции агрегированной величины.

Таблица11:  Прогноз общей занятости и по секторам деятельности

3.3         Сезонная коррекция

Мы, наконец, можем заняться потенциальной сезонностью вквартальных временных рядах общей занятости и занятости по секторам деятельности (см. Таблицу 11), а также в квартальном ряде серии безработицы (см. Таблицу 4). Придерживаясь международных методов наиболее успешной практики мы скорректируем квартальные ряды занятости и безработицы, применяямодельX-13ARIMA-SEATS, разработанную и поддерживаемую Бюро переписи населения США[19]. Эта модель представляет недавнюю модернизацию и улучшение предыдущей версии X-11, с некоторыми улучшениями, направленными непосредственно на методы преодоления проблем коррекции, и, тем самым, на расширение диапазона экономических временных рядов, которые могут адекватно корректироваться с учетом сезонных изменений. Она объединяет и расширяет возможности более старых моделей X-12ARIMA (разработанной Бюро переписи населения США) и TRAMO-SEATS (разработанной Банком Испании).

Ряды, скорректированные с учетом сезонных изменений, представлены в Таблице12 и на Рисунках 35, 36 и37.[20]

Таблица12: Прогноз занятости по секторам деятельности, общей занятости и безработицы – данные скорректированы с учетом сезонных изменений

Сельское хозяйство                                   Промышленность

2004 2006        2008        2010  2012   2014   2016

Годы

2004  2006        2008        2010           2012   2014   2016

Годы

Строительство                                      Услуги

2004 2006        2008        2010  2012   2014   2016

Годы

2004200620082010  2012        2014  2016

Годы6

Общая занятость

                   2004            2006                      2008           2010        2012           2014   2016

Годы

Общая занятость

2004           2006    2008    2010    2012    2014          2016

Годы

Рисунок36:Прогноз занятости, скорректированной на сезонные изменения

Общая безработица

2004           2006    2008    2010    2012    2014          2016

Годы

Рисунок37:Прогноз безработицы, скорректированной на сезонные изменения

Приложение 2

Министерство экономики Кыргызской Республики

Руководство

Краткосрочное прогнозирование на основе индикаторов

(внедрение краткосрочного прогнозирования в Кыргызской Республике)

1.    Введение

Целью данного руководства является внедрение принципов эконометрической модели краткосрочного прогнозирования реального сектора для Кыргызской Республики с использованием различных индикаторов. Данная работа проводилась Министерством экономики в сотрудничестве с Германским сообществом по международному сотрудничеству.

В предлагаемом руководстве краткосрочные экономические индикаторы используются для прогнозирования квартальных изменений в валовом внутреннем продукте (ВВП) и/или валовой добавленной стоимости (ВДС). Отличием данного руководства является использование эмпирических данных, которые включают в себя ключевые индикаторы, индикаторы на основе экономических циклов и целевые переменные.

Данное руководство содержит краткие сведения тренингов IWH (Гальский институт экономических исследований) по регрессивным анализам и краткосрочному прогнозированию. Руководство оснащено несколькими Excel и EViews файлами:

Общая процедура формирования краткосрочного прогнозирования показана на рис. 1 и будет подробно описана в разделах, указанных ниже. Также, будут описаны методы, которые использованы в программе EViews.

Надстройки в Excel

Чтобы использовать некоторые опции в Excel для прогнозирования, необходимо активировать некоторые надстройки.

1)    Перейдите к опциям меню Excel: выберите «Параметры», затем категорию «Надстройки».

Рис. 1: Анализ временных рядов и шагов прогнозирования

2.    Надстройки в Excel

Чтобы использовать некоторые опции в Excel для прогнозирования, нам необходимо активировать некоторые надстройки.

2)    Перейдите к опциям меню Excel: выберите «Параметры», затем категорию «Надстройки».

3)    В нижней части диалогового окна опций Excel, в окне «Управление» необходимо выбрать «Надстройки Excel» и нажать «Перейти».

4)    В диалоговом окне «Надстройки» необходимо установить флажки около «Пакет анализа – VBA» и «Поиск решения», а затем нажать OK.

После чего Excel автоматически создаст новые символы в меню Данных.

3.    Выбор данных и индикаторов

В первую очередь необходимо выбрать те переменные, прогноз которых необходимо составить и те индикаторы, которые будут использоваться в качестве экзогенных переменных.

Для краткосрочного прогнозирования используются ежеквартальные данные (в соответствии с международной статистикой) и сводные официальные данные Национального статистического комитета Кыргызской Республики (далее - НСК КР).

3.1 Пересчет отдельных квартальных данных

Национального статистического комитета КР (далее-НСК КР) предоставляет сводные данные, которые представляют собой суммарные данные за два квартала, три квартала и т.д.  Поэтому сначала необходимо произвести пересчет каждого квартала в отдельности для приведения к международному сравнительному временному ряду:

- первый квартал = официальные данные первого квартала;

- второй квартал = официальные данные I полугодия – первый квартал;

- третий квартал = официальные данные за 9 месяцев - официальные данные I полугодия;

- четвертый квартал = официальные данные за год - официальные данные за 9 месяцев.

В качестве общего примера был  выбран реальный объем (и номинальный) ВВП (см. файл Excel «GDP_quart_input.xlsx») . Аналогичная методика применима, ко всем секторам экономики при расчете по ВДС[21]. Квартальные данные используются в файле «TOTAL_ВВП.xlsx».

3.2 Расчет ВВП и ВДС в ценах 2010 года

Показатели ВВП и ВДС по отдельным секторам экономики предоставляются НСК КР, где реальные величины представлены в ценах предыдущего года. Следует отметить, что после перерасчета данных НСК КР согласно ГКЭД 3, ежеквартальные данные доступны только с 2010 года, поэтому для устранения долгосрочного ценового эффекта (более одного года) необходимо создать цепочку для индексации). Обычно  для учета  количественных значений последних лет, по истечении 5 лет базисный год меняется, и в этой связи, рекомендуется использовать данные за 2010 год (или 2005 год). При расчете используется цепной индекс физического объема по Ласпейресу на основе данных 2010 года.

Рис. 1:Обрабатывающее производство по ВДС и ВВП (млн сомах)

Квартальные расчеты с 2010 года приведены в листе “Chain Linking” (Рис. 2). Первым шагом является внесение исходных данных в текущих ценах (столбик C) и данных, расчитанных в ценах предыдущего года (столбик D) [22], при этом необходимо отметить, что в базовом 2010 году величины остаются те же самые.

Второй шаг - расчет темпов роста в столбике E в сравнении с данными предыдущего года (н-р D54/D50*100-100), расчет начинается с 2011 года по следующей формуле:

Третий шаг - производится расчет индекса физического объема по Ласпейресу   по следующей формуле:

 н-р: D54/СРЗНАЧ(C$50:C$53)*100 Р₀Q₁

Четвертый шаг - производится ежегодный расчет цепного индекса физического объема по Ласпейресу (2010=100) по следующей формуле:

н-р: H54* СРЗНАЧ(I$50:I$53)/100

Пятый шаг - расчет цепного ряда объемов в ценах 2010 года, путем умножения цепного индекса физического объема по Ласпейресу на среднюю величину номинальных рядов 2010 года. Обратите внимание на то, что в данном случае средняя величина 2010 года используется для любого периода времени

I54* СРЗНАЧ(C$50:C$53)/100

После произведенных расчетов, необходимо проверить, одинаков ли ежегодный темп роста для объема и индекса. Для этого подсчитывается сумма каждого года, а затем ежегодные темпы роста. Для каждого индекса рассчитывается средняя величина цепного индекса по Ласпейресу текущего года. .

После пересчета данных НСК КР согласно новому ГКЭД, версии 3 ежеквартальные данные до 2010 года по секторам ВДС не доступны в ценах предыдущего года, поэтому требуется вручную рассчитать данные темпов годового роста до 2010 года[23].

Рис. 2: Программа цепной связи

3.3 Сезонная корректировка данных

Временные ряды состоят из трех компонентов: тренд-циклической компоненты (содержащий как тренд, так и цикл)[24], сезонные компоненты и остаточные компоненты (содержащей все остальное во временных рядах). При использовании аддитивной модели, временные ряды можно записать в виде:

,

где  - данные,

 - тренд-циклическая компонента,

 - сезонная компонента,

 - нерегулярная (ошибочная) компонента в  t периоде.

Если данные (как по секторам ВВП/ВДС, так и индикаторы) указывают на сезонные колебания, то необходимо сначала скорректировать данные первоначального уровня[25]. Существуют разные варианты решения проблемы сезонности:

·                    подсчет годовых темпов роста (см. раздел 8);

·                    использование сезонных фиктивных данных (S1, S2, S3, S4) (см. раздел 8);

·                    применение эконометрических компьютерных программ, например EViews, для использования  процедуры обработки X12-ARIMA (см. раздел 10);

·                    расчет сезонных факторов.

При использование последнего метода необходимо в листе «seasonal adjustment» (Рисунок 3)[26]:

Первый шаг - добавить первоначальные нескорректированные данные в столбец В (базовые данные).

Второй шаг - в столбике С (скользящее среднее) рассчитать центрированную скользящую среднию величину в указанном году на основе данных 4-х кварталов  с помощью нижеуказанной формулы:

Н-р: (СРЗНАЧ(B13:B16)+СРЗНАЧ(B14:B17))/2).[27]

Третий шаг - в столбике D (отклонение от тренда) производится расчет соотношения между первоначальными данными и центрированной скользящей средней величины в указанном году с использованием следующей формулы:

, где

CLV - цепной ряд объемов в ценах 2010 года;

CMA - центрированная скользящая средняя величина

н-р: B15/C15.

Четвертый шаг - для определения общего сезонного фактора вычисляется  средняя величина всех первых кварталов, вторых, третьих четвертых кварталов за 2001 – 2013 годы, затем  полученые значения вносятся в ячейки D2-D5.

Например, сезонный фактор первого квартала рассчитывается по следующей формуле:

СРЗНАЧ(2001Q1, 2002Q1, 2003Q1, 2004Q1 …2013Q1)

Н-р: СРЗНАЧ(D15;D19;D23;D27;D31;D35;D39;D43;D47;D51;D55;D59;D63).

То же самое применительно ко второму, третьему и четвертому кварталам, соответственно. 

Необходимо обратить внимание на то, что в случае завершения года область значений сезонных факторов необходимо обновлять. Однако  в данном случае, сумма кварталов в ячейках D2-D5 не соответствует сумме количества периодов в сезоне (то есть не равна 4),  это означает, что  необходимо нормализовать эти величины. Делается это в столбике E путем деления величины ненормализованного фактора на сумму ненормализованного фактора, умноженного на 4. Соответственно, сумма нормализованных величин будет равна 4.

Н-р: 4*D2/$D$6

Затем  приведенные в соответствие величины копируются для каждого квартала. Это делается путем фиксирования ячеек знаком «$», например, $E$2, $E$3, и т.д. Таким образом, каждый первый (второй, третий, четвертый) квартал связывается с тем же сезонным фактором.

Пятый шаг – далее расчитываются сезонные колебания временных рядов для каждого квартала путем деления нескорректированного ряда на стандартизиованный сезонный фактор: н-р: B15/E15.

Однако эта процедура не гарантирует, что годовая сумма сезонно скорректированых рядов равняется сумме нескорректированных рядов.

Шестой шаг - рассчитывается сумма годового коэффициента для каждого года, по следующей формуле:

,где

SAD –сезонные скорретктированные данные (столбик F)

OU_ld – первоначальные нескорректированные данные (столбик В)

н-р: (СУММ(B15:B18)/СУММ(F15:F18)).

Если значение больше единицы,, то сумма нескорректированных значений больше, чем сумма скорректированных с учетом сезонных значений.

Сеьмой шаг - для того, чтобы получить коэффициент с сезонной поправкой с коррекцией годовой суммы, делается расчет по следующей формуле:

SAD_as=ASF*SAD

н-р: F15*G15.

Восьмой шаг- делается расчет нерегулярного компонента, по следующей формуле:

 Н-р: H15/C15.

Рисунок 3: Программа поправок на сезонность

Для того чтобы увидеть, насколько полезной была процедура корректировки - составляется диаграмма, куда включаются нескорректированные (первоначальные), скорректированные ряды и скользящее среднее значение (см. рис. 5)

Рис. 5: Сезонная корректировка для промышленности и ВВП ( млн сомах)

Необходимо отметить что, инструмент сезонной корректировки, представленный выше, дает аналогичные результаты, которые можно получить при помощи метода Census-X12 в EViews (Рис. 4)[28]

Рис. 4: Сезонная корректировка ВВП  (млн сомах)

Отсюда видно, что процедура корректировок, представленная выше, обеспечивает надежные результаты.

Однако, данная процедура сезонных корректировок для некоторых секторов экономики не работает так хорошо, как для других, например: промышленность или образование. В секторе промышленности, это связано с огромным влиянием предприятий по разработке месторождения «Кумтор». В таких случаях рекомендованы дополнительные расчеты, например, расчет промышленности без учета предприятий по разработке месторождения Кумтор.

3.4 Данные по индикаторам

Для расчетов в качестве примеров использовались такие показатели, как - индекс производства, заработная плата, курсы валют, процентные ставки, цены на нефть и цены на золото[29]. Кроме этого, можно выбрать и другие индикаторы для различных секторов из разных источников.

Преобразование частоты: Все вышеуказанные индикаторы публикуются каждый месяц (см. файл «Indicators.xlsx», лист «monthly-месячные») или даже ежедневно  и, следовательно, должны быть преобразованы в ежеквартальные цифры. Для этого необходимо в файле «Indicators.xlsx» создать новый лист под названием «quarterly-квартальные», и внести туда данные из листа «monthly», по следующей формуле:

Q_t=СРЗНАЧ(Monthly!Q₁)

Н-р: СРЗНАЧ(Sheet!B6:B8).

Индикаторы, такие как производство, можно рассчитать с использованием официальных статистических данных.

Сезонность и стационарность: Необходимо графически посмотреть на данные, чтобы увидеть, есть ли необходимость в сезонной корректировке, и является ли ряд стационарным, или применим ли расчет темпов роста (см. файл «Indicators.xlsx», лист «Charts»). Большинство индикаторов, выбранных для примера, не показали сезонных колебаний; но другие индикаторы могут показать другой результат (см. н-р, заработную плату). Однако, можно использовать предложенную процедуру сезонной корректировки (для ВВП), чтобы выровнять индикаторный ряд[30].

Кроме того, большинство индикаторных рядов (а также ВВП) следуют трендам. Поэтому необходимо рассчитать темпы роста, чтобы получить стационарный временной ряд, чтобы использовать более поздние модели темпов роста для прогнозирования[31]. 

Обратите внимание на то, что для некоторых рядов следует выполнить дополнительные предварительные расчеты. Например, для номинальной заработной платы, прежде чем применить процедуру сезонной корректировки и, рассчитать темпы роста сначала  необходимо рассчитать реальную зарплату (по формуле: номинальная заработная плата/ ИПЦ).

3.5 Проверка на стационарность

В целях проверки стационарности временного ряда необходимо использовать более усложненные модели. Расширенный тест Дики Фулера (ADF-Test) является одним из стандартных процедур, который позволяет проверить, имеет ли временной ряд единичный корень. Данная процедура может быть легко выполнена в EViews. Но для быстрой проверки достаточно иметь графическое изображение, чтобы посмотреть, имеют ли ряды тренд (или нет). Это относится как к эндогенным переменным (ВВП / ВДС), так и экзогенным переменным (индикаторам).

На рис. 7 показаны два типа временных рядов: цена на золото, которая наглядно показывает восходящий тренд, и процентная ставка, которая колеблется вокруг исторического среднего (за исключением некоторых периодов). ADF-тест, проведенный в EViews, показывает аналогичные результаты.[32]

Рис. 5: Тренд  и Стационарность[33]

Если данные содержат тренд, просто подсчитываются темпы роста в сравнении с предыдущим кварталом с учетом сезонных колебаний  временного ряда, по следующей формуле:

 .

Подсчет темпов роста для индикаторов производится на листе «%qoq» файла Indicators.xlsx и на листе «прог ВВП (qoq)» файла TOTAL ВВП.xlsx - для ВВП.

4.    Модели прогнозирования

В случае отсутствия дополнительной информации для определения прогнозных ориентиров можно использовать две простые «модели»: средние исторические значения и значение последнего периода («наивный» метод).

Помимо этого, существуют различные усложненные методы прогнозирования, которые находятся, в файле TOTAL ВВП.xlsx, в листе «прог ВВП (qoq)», такие как:

1.    Метод линейного экспоненциального сглаживания, применяющий тренд для прогнозирования;

2.    Прогнозирование темпов роста на основе линейной регрессии с использованием ранее расчитанных показателей;

3.    Прогнозирование темпов роста на основе линейной регрессии с использованием индикаторных показателей;

4.    Прогнозирование темпов роста на основе линейной регрессии с использованием индикаторных прогнозов и ранее расчитанных показателей.

4.1          Модель линейного тренда

Для того, чтобы приступить к методу линейного экспоненциального сглаживания (LES), необходимо, чтобы первоначальные прогнозные значения равнялись фактическим величинам.

Первый шаг – делается расчет ошибки прогнозирования, путем вычисления разница между фактическими и прогнозными значениями. Причем, значения первых двух величин должны быть равны нулю. Уравнение выглядит следующим образом:

Прогноз линейного экспоненциального сглаживания опирается на два предыдущих значения, ошибку прогнозирования и альфа-параметр. Подсчет среднеквадратического значения ошибок прогнозирования (далее - RMSE) производится в столбике G в файле TOTAL ВВП.xlsx, в листе «прог ВВП (qoq)» (см.рисунок 8).

Для того чтобы скорректировать альфу для минимизации RMSE , необходимо определить вручную оптимальное значение альфы, которое находится в столбике F в файле TOTAL ВВП.xlsx, в листе «прог ВВП (qoq)». Для определения величины при помощи Excel следует использовать надстройку «Поиск решения». В надстройке «Поиск решения», в поле «Оптимизировать целевую функцию» необходимо выбрать необходимую ячейку, которая должна быть минимизирована (RMSE в столбике G). Затем для минимизации величины следует отметить галочкой «минимум» и выбрать ячейку, где будет произведена калькуляция переменного параметра (альфа) (столбик F).[34]

Для того, чтобы спрогнозировать на один, два и более кварталов, необходимо в столбике «В» заполнить пустые ячейки фактическими данными или прогнозными значениями, которые получились при расчете. 

4.2.        Линейные регрессионные модели

Для определения оптимальной модели линейной регрессии можно применить методологию Бокса-Дженкинса (1976), которая включает:

·          вычисление разности рядов для достижения стационарности;

·         определение предварительной модели;

·         оценку модели (для минимизации суммы квадратов ошибок);

·         диагностическую проверку (для проверки достоверности модели);

·         применение модели для прогнозирования и контроля.

4.3.        Авторегресионная модель

Помимо «наивного прогнозирования», где прогнозом является просто последнее значение ,  можно использовать временные ряды для вычисления прогноза. Оптимальную ARIMA-структуру[35] можно определить посредством (частичной) автокорреляционной функции. Для этого предположим, что авторегрессионный процесс AR(1), означает, что предыдущая величина влияет на текущую.

.

Параметры c и  определяют отрезок и наклон линии.  Необходимо создать столбик, в котором  реальные темпы роста текущего года будут идти с отставанием на один период . Для определения константы С и величины , необходимо вычислить регрессию. Существует 3 способа расчета константы и коэффициента:

1)        Составить график с рядами  и , например, график рассеивания.  Как показано на графике наблюдения не лежат на прямой линии, а разбросаны вокруг него. Есть случайные ошибки, которые имеют (i) нулевое среднее (в противном случае прогнозы будут иметь систематические погрешности), (ii) не автокоррелированы (iii) не имеют отношения к прогнозируемой переменной.

Для того, чтобы отобразить формулу регресии и R² необходимо  отметить все точки, добавить линию тренда и выбрать тип тренда (линейный). Проблема заключается в том, что нет непосредственного доступа к формуле для будущих расчетов, поэтому придется копировать коэффициенты вручную.

2)           Необходимо сделать расчет соответствующих параметров самостоятельно. Для получения параметров используются  следующие формулы в EXCEL файле:

·      константа: ОТРЕЗОК(K16:K66;L16:L66);

·      коэффициент: ЛИНЕЙН(K16:K66;L16:L66;Истина; Истина);

·      количество наблюдений: СЧЁТ(K16:K66);

·      корреляция: КОРРЕЛ(K16:K66;L16:L66)

·      R²: КВПИРСОН(K16:K66;L16:L66)

R² лежит в интервале между 0 и 1. В случае если значения, R² близок к 1, то это указывает на то, что прогнозы близки к фактическим значениям. Также, целесообразно учесть диапазон выборки и сделать поправки для малые выбороки путем расчета скорректированного , с числом наблюдений n и числом независимых переменных k.

·      RMSE: КОРЕНЬ(ДИСП(N16:N66)+СРЗНАЧ(N16:N66)^2)

·      AIC:LN(СТАНДОТКЛОН(K16:K66;L16:L66)/ СЧЁТ(K16:K66))+2*2/(СЧЁТ(K16:K66))

 with .

Если один раз уже был  произведен расчет, то значение формулы автоматически обновляется при внесении новых данных. Тем не менее, необходимо проверять диапазон столбцов,  в том случае, если имеются новые данные в конце выборки или при наличии индикатора с короткой историей. В представленных выше примерах анализ заканчивается на строке 66 (2014Q1), если необходимо проанализировать до 2014Q2, нужно увеличить ряд до 67 строки.

3)         использование опции «Надстройки Excel» для Анализа данных.

Еще одним удобным инструментом является надстройка «Анализ данных», которую можно выбрать в меню данные. После выбора надстройки, выберите Регрессию и нажмите OK.

Откроется новое окно, где следует выбрать значения Y и X, которые  необходимо регрессировать. При этом оба временных ряда должны иметь одинаковые области значений.

Наконец, на новом листе результаты представлены в соответствии с выбором, сделанным выше.  Данная таблица не обновляется автоматически при внесении новых данных, поэтому необходимо заново «обновить» таблицы при помощи опции «Надстройки». Однако данный инструмент рекомендуется  только для проверки правильности расчета формул и значимости коэффициентов уравнения.

4.4 Индикаторная модель

До этого использовались только авторегрессионные (AR) условия эндогенных переменных. Теперь для прогнозирования  будут использоваться выбранные индикаторы ().

.

Величины  и  можно определить посредством той же, описанной выше процедуры. При этом  тоже должно быть стационарным.

Из описанных выше различных примеров: необходимо выбрать «достоверные данные» - темпы роста промышленного производства, где ряды расчитываются с использованием индекса производства. С помощью программы EViews - метода коррелограммы, можно увидеть, что четвертый лаг важен. Поэтому необходимо оценить следующее уравнение:[36]

Также,  можно использовать оба значения – индикатор, лаговые эндогенные и экзогенные переменные. Например, в руководстве приведены примеры с использованием индикатора и прогнозируемой переменной с отстваванием на один лаг:

.

Для получения коэффициентов для более чем одной переменной необходимо обратиться к формуле в Excel в файле TOTAL ВВП.xlsx, в листе «прог ВВП (qoq)»:

= ЛИНЕЙН(U16:U66;V16:W66; Истина; Истина).

Первая часть определяет эндогенную переменную, вторая часть - репрессоры. «Истина» означает, что следует включить в решение - константу. При таком расчете коэффициент(ы) не появится в одной единственной ячейке; нужно выделить 3 столбика (количество коэффициентов + константа, подлежащая оценке) и 5 строк (см. выделенная область)[37]. Для обновления значений необходимо выделить весь сектор, заполнить верхнюю левую ячейку, ввести командную линию и нажать STRG+Control+Enter одновременно. Справочная информация Excel поможет определить параметры. b - константа, m₁ - коэффициент первого индикатора, m₂ - коэффициент второго индикатора и m_n - коэффициент индикатора n^th.

Однако оптимальное отношение определяется с помощью соответствующих  уравнений, и через такие информационные критерии, как AIC или SIC, (скорректированный) R², DW-статистика. Также важны t-статистика и F-статистика. 

Помимо этого, в расчетах использовались такие ряды как – цена на золото, реальная заработная плата, процентные ставки и денежные переводы, где оценка влияния каждого индикатора на ВВП / ВДС оценивается при помощи отдельных уравнений. При наличии индикатора и/ или потенциальных интервалов времени можно получить прогноз на следующий (текущий) квартал с учетом влияний различных индикаторов.

Но какой из существующих прогнозов, рассчитанных на основе вышеперечисленных моделей, самый лучший?

5.    Выбор наилучшей модели и прогнозной комбинации

Для выбора оптимальной связи между переменной и соответствующим индикатором используется стандартный критерий. Распространенным методом для оценки соответствия модели регрессии данным, является коэффициент детерминации или R².

Следовательно, следует выбрать наилучшие интервалы для оптимизации соответствия уравнению. При этом существуют различные прогнозы, основанные на различных индикаторах (см. лист «комбинация»). Для примера  можно рассчитать сводный прогноз на 2014Q2 с учетом всех индикаторов. Сначала  следует изобразить диапазон индикаторных прогнозов в виде гистограммы. Больший интерес представляет гистограмма, позволяющая увидеть частоту определенного прогноза[38].

Рис. 8

Одним из вариантов использования всех индикаторов N, вместо выбора отдельного прогноза i,- является соединение всех индикаторных прогнозов.

Следовательно, можно использовать различные системы взвешивания . Простое присваивание равных весов - наиболее известный метод, который дает наилучшие результаты прогнозирования. Каждый индикаторный прогноз имеет одинаковый вес, поэтому  можно вычислить среднее всех прогнозов.

.

С учетом отдельных квартальных прогнозов сводный  прогноз дает 1,7 %. Если исключить прогноз, основанный на денежных переводах, сводный прогноз равняется 1,9 %.

Помимо этого могут быть использованы другие системы взвешивания – весы, основанные на выборках, такие как AIC и R², байесовский метод (Wright, 2008, 2009), а также весы, выходящие за пределы выборки, основанные на прошлых дисконтированных суммах ошибок прогнозирования (весы MSFE) (Bates и Granger, 1969). Однако эти методы не применимы в случае, когда объём выборки данных слишком маленький (н-р в Кыргызской Республики).

Следует обратить внимание на то, что при ежеквартальном прогнозе для временных рядов с сезонными поправками на заключительном этапе  необходимо сделать расчеты прогнозов без сезонных поправок.

6.    Перерасчет без учета сезонных корректировок

Полученные прогнозы показывают квартальные темпы роста с сезонными корректировками или уровень с сезонными корректировками. Однако зачастую политиков больше интересуют нескорректированные значения. Поэтому необходимо убрать сезонные корректировки из прогнозных величин. В Excel в файле TOTAL ВВП.xlsx, в листе «retour_ВВП» можно произвести данную калькуляцию.

Для этого необходимо внести в столбик J (irregular) прогнозируемые темпы роста. Затем  подсчитать в столбике  H скорректированный на сезонные изменения уровень посредством следующей формулы:

 Н-р: F66*H67/100+F66

 Можно  подсчитать нескорректированные ряды, по следующей формуле:

SAD*SF

Н-р:F67*E67.

Рис. 9: Перерасчет без сезонных корректировок

В представленном  EXCEL файле все данные связаны друг с другом. В примере с калькуляцией ВВП, скорректированный прогноз составляет 1,9 % по сравнению с предыдущим кварталом текущего года, а при пересчете  рост получился 9,9 % во втором квартале 2014 года по сравнению с соответствующим кварталом  предыдущего года.

7.    Расчет доверительных интервалов

Доверительный интервал в 95 % равен точке прогноза ± 1,96 стандартного отклонения, при условии, что ошибки имеют нормальное распределение, и объём выборки превышает 20 наблюдений. RMSE - наилучшая оценка для стандартного отклонения. Следовательно, доверительные интервалы можно подсчитать путем сложения и вычета RMSE ± 1,96. Таким образом,  можно подсчитать верхние и нижние пределы доверительного интервала. Доверительные интервалы более чем на один прогнозируемый год увеличиваются с увеличением периодов прогнозирования из-за возрастающей неопределенности в отношении прогноза, тренда и сезонных факторов. Однако их трудно подсчитать посредством аналитических методов.[39]

8.    Другие подходы к прогнозированию

Прогнозирование временных рядов с сезонными корректировками было описано  в разделе 4. Однако существуют причины, которые позволяют использовать не скорректированные ряды, а первоначальные нескорректированные (цепные) ряды. Существует два способа решения проблемы сезонной составляющей в рядах.

Первый способ – учтем вычисления ежегодных темпов роста, где делается ссылка на один и тот же квартал предыдущего года и допускается, что характер сезонных изменений одинаков. В Excel в файле TOTAL ВВП.xlsx в листе «прог ВВП (год к году)» рассчитываются годовые темпы роста по сравнению с предыдущим годом (н-р:B14/B10*100-100) на основе нескорректированных объемов (столбец B). Затем  используя модель AR, составляется прогноз, или добавляются другие индикаторы. Методика расчета идентична методике представленной ранее. Однако, если учитывается рост индикаторов, то также придется рассчитать годовые темпы роста индикаторов по сравнению с предыдущим годом (вместо квартальных темпов роста по сравнению с предыдущим кварталом). Данный метод дает прогноз нескорректированных темпов роста ВВП в годовом сопоставлении.

Второй способ -   можно использовать лист «прог ВВП dum», где  используются сезонные фиктивные переменные s1, s2, s3 s4, которая имеет две формы: 0 или 1. Фиктивная s1 - обозначает, что все первые кварталы равны 1, другие кварталы обозначаются цифрой 0. Фиктивная s2 - обозначает, что все вторые кварталы цифрой 1 и т.д.:

S1 = (1,0,0,0, 1,0,0,0, 1,0,0,0,...)

S2 = (0,1,0,0, 0,1,0,0, 0,1,0,0,…)

S3 = (0,0,1,0, 0,0,1,0, 0,0,1,0,...)

S4 = (0,0,0,1, 0,0,0,1, 0,0,0,1,...)

В данном регрессионном анализе вычисляются темпы роста в квартальном сопоставлении и добавляются в регрессию четыре сезонные фиктивные  переменные. Однако, если  включить четыре сезонные фиктивные переменные и константу (свободный член), регрессия столкнется с проблемой мультиколлинеарности. Решением проблемы является использование всех 4 фиктивные переменных, за исключением константы, или использовать три переменные и все же включить свободный член (константа). Эти два метода решения проблемы эквивалентны. Разница лишь в интерпретации расчетов коэффициентов. С помощью этого метода получается прогноз нескорректированных данных в квартальном сопоставлении.

9.    Общая система прогнозирования валовой добавленной стоимости

В файле Excel «GDP_quart_total.xlsx» представлена общая система данных валовой стоимости и прогнозов, которая содержит текущие данные официальной статистики с 2010 года до первого квартала 2014 года и данных с 2000 года по  ВВП и  ВДС по 13 секторам с номинальными и реальными значениями, и соответствующими значениями дефлятора.

Файл содержит следующие листы:[40]

Листы с номинальными значениями:

·         nominal_q: первоначальные квартальные номинальные данные в млн сомах;

·         nominal_q%: темпы роста первоначальных квартальных номинальных данных по сравнению с аналогичным  кварталом предыдущего года в %;

·         nominal_y: первоначальные годовые номинальные данные в млн сомах;

·         nominal_y%: темпы роста первоначальных годовых номинальных данных в сравнении с предыдущим годом в %.

Листы с реальными значениями:

·         real_q: первоначальные квартальные реальные данные в ценах предыдущего года (млн сомов):

куда входит:

·          цепные связи (объемы Ласпейреса, индекс, связанные объемы);

·          расчет сезонных и годовых поправочных коэффициентов;

·          пересчет в общей системе («добавление» прогнозных данных в первоначальные данные в ценах предыдущего года)[41];

·         real_q%: темпы роста первоначальных квартальных реальных данных в сравнении с аналогичным кварталом предыдущего года в %;

·         real_cum_q%: первоначальные реальные данные с нарастанием с начала года (I квартал, I полугодие, 9 месяцев) в сравнении с аналогичными сводными  данными периодов предыдущего года в %;

·         charts_q_real: графики эффективности сезонных корректировок[42];

·         real_y: первоначальные годовые реальные данные в ценах предыдущего года (в млн сомах);

·         real_y%: темп роста первоначальных годовых реальных данных в сравнении с предыдущим годом в %.

Листы с дефлятором:

·         defl_q: квартальные дефляторы;

·         defl_q%: квартальные дефляторы в сравнении с соответствующим кварталом предыдущего  года  в %;

·         defl_y: годовые дефляторы;

·         defl_y%: годовые дефляторы в сравнении с предыдущим годом в %.

Вспомогательный лист:

·         расчет исторических данных за 2000 – 2009 годы:.

Каждый лист имеет одинаковую структуру, начиная с первоначальных данных для всех секторов ВДС, общего ВДС и ВВП. Первоначальные значения связаны с файлами Excel.

Для секторов промышленного производства  и услуг рассчитываются промежуточные суммы,  где не используются дополнительные прогнозы индикаторов. Добавляются номинальные и реальные промежуточные данные предыдущего года. Реальные промежуточные цепные значения в некорректированном и в скорректированном к сезонным изменениям формате дополнительно взвешиваются при помощи соотношения между дефляторами предыдущего года и общим множеством и подмножеством. Таким же образом можно рассчитать ВВП и ВДС.

Например,  прогноз ВВП на второй квартал 2014 года (первый прогнозируемый квартал) рассчитывается по сумме  ВДС  и налогов. Эту формулу  можно найти в листе «real_q» в ячейках BH81 и BH204:

Н-р: GDP(q2/2014)=GVA(q2/2014)*deflGVA(2013)/defl_yGDP(2013)+T(q2/2014)*deflT(2013)/deflGDP(2013).

Все другие формулы, которые включены в основной лист «real_q», такие как, формулы для цепной связи и сезонной корректировки, указаны в предыдущих главах.

После процесса прогнозирования можно вставить прогноз реальных темпов роста с сезонными корректировками в лист «real_q%». Для второго квартала 2014 года значения добавляются в столбец BD, начиная с «налогов» в строке 46 до «других услуг» в строке 61. Темпы роста промежуточных данных рассчитываются автоматически (промышленность, обслуживание, общая ВДС и ВВП). Перерасчет производится автоматически (по соответствующим формулам) для нескорректированных значений[43].  Темпы роста с нарастанием с начала текущего прогнозируемого года приведены в листе «real_cum_q%». В то время как прогнозирование на текущий квартал основывается на индикаторах, а прогнозы на третий и четвертый квартал основываются с помощью ARIMA с EViews.

10. Прогнозирование при помощи EViews

Введение

Как известно, все расчеты в различных областях науки, таких как экономика, статистика, эконометрика, финансы производятся на платформах различных программ, разработанных для этих целей. К таковым относятся пакет статистических программ E-Views.

E-Views явлется одним из широко применяемых программных обеспечений в области экономического моделирования и прогнозирования макроэкономических переменных, который позволяет производить более детальный анализ состояния экономики на основе временных рядов: сделать качественный сбор и анализ данных и в последующем при заданных параметрах произвести более точные экономические прогнозные расчеты с меньшим допуском ошибок и пропусков, при необходимости с параллельным выводом графиков, диаграмм, что способствует при аналитике и прогнозировании экономии времени.

Для альтернативного прогноза и проверки надежности вышеприведенного прогноза можно использовать инструмент построения основных эконометрических моделей для прогнозирования на основе пакета E-Views.

10.1 Рабочие файлы и объекты

Подготовка

Для работы с EViews, можно обратиться к Справке / Eviews Руководство для пользователей, особенно для поиска функций и формул. Для облегчения работы с данными между Excel и EViews рекомендуется переключить настройки на десятичную точку (вместо запятой) в файле Excel.

•     в Excel вручную: найти и заменить (запятую на точку);

•     в Excel для всех листов Excel: Сервис à Опции àМеждународный (заменить запятую на точку);

•     или все настройки в компьютере (если Вы часто работаете с документами в английском формате) в Панели управления à Опции Язык и Регион.

Запуск

После запуска программы появляется окно EViews, которое состоит из нескольких секций.

Создание рабочего файла

В главном меню следует выбрать опции File/New/Workfile, в результате чего откроется диалоговое окно, где задается информация о типе имеющихся данных::

·         выбрать периодичность  данных (ежемесячная, ежеквартальная, ежегодная);

·         выбрать временной интервал;

·         выбрать в окне “workfile structure type”

·         введите название рабочего файла (WF) и страницу (страница, лист).

Рабочий файл обычно выглядит так:

Создание объектов

Временной ряд можно создать, выбрав «Object / New object » в главном меню или в окне рабочего файла. Здесь предоставляется выбор различных объектов, т.е. набор информации, относящейся к определенной области анализа.

Примеры:

• «Series»-Object à временной ряд

• «Equation»- Object à Уравнение

·         переименовать временной ряд (ярлык);

·         данные могут быть введены только после нажатия значка «Edit» в строке меню;

·         выберите «Ярлык», чтобы добавить дополнительную информацию (подробное название, источник, единицы) и т.д.;

·         в EViews можно изменить обозначение чисел, если необходимо. Для этого выберите раздел «Properties»:

В диалоговом окне можно выбрать различные настройки, например:

·         вставить разделитель тысяч;

·         изменить ширину столбца;

·         выравнивать отображение значений вправо или влево (по стандарту цифры выравниваются по правому краю);

·         настроить десятичную точку под «numeric display» àfixed decimal

В дополнение к электронным таблицам, куда  вводятся данные, «ряды» могут также отображаться в других видах. В строке меню выбирается значок «View»,  где предлагается множество форматов отображения на выбор. Описательный анализ является особенно полезным инструментом. Конечно же, можно сделать графический анализ. Существует широкий выбор гистограмм, графиков и т.д. Двойным щелчком по графику активируйте режим редактирования графика, например, изменение цвета или ярлыка оси. и.т.д..

Сохранение рабочего файла

Рабочий файл можно сохранить в меню «File/ Save as».

Появится новое поле, в котором можно указать точность, с которой данные должны  сохраняться.

Также можно выбрать, чтобы диалоговое окно появлялось при каждом новом сохранении данных. Как правило, эта настройка отключается.

Импорт данных

Данные можно скопировать непосредственно или можно импортировать. Если вы имеете дело с несколькими переменными, то используется метод «Copy – Paste»[44]. Данные будут скопированы из буфера обмена, в частности, из Excel или SPSS.

В EViews несколько переменных могут отображаться вместе. Для этой цели (ранее созданные) объекты выбираются с помощью клавиши Shift или Tab и выделяются правой кнопкой мышки с помощью команды «Open / As group», где объекты отображаются рядом друг с другом. При помощи режима «Edit» можно вставить цифры из буфера обмена.

.

После вставки значений, закройте режим Edit (де-активируйте режим правки). При необходимости, можно также переименовать («Name») группу и сохранить ее таким образом в рабочий файл. Графическое изображение может быть показано в одном графике («Graph») или в отдельных графиках («multiply graphs»).

Лучший способ создания рабочего файла с длинными временными рядами - импорт данных целых файлов, например, из Excel или SPSS. Можно импортировать файлы в меню «File / Open / foreign date as workfile».

Выберите нужный файл из соответствующего каталога с учетом того, что необходимо выбрать тип файла «all files» или «Excel файл».[45]

 Кроме этого есть возможность выбора между отдельными столбцами /строками / областями листа («пользовательская область значений») или автоматическим выбором EViews («предопределенная область»). Если таблица Excel подготовлена соответствующим образом, она может быть перемещена непосредственно. Cледующим  шагом, необходимо проверить, приведены ли названия временных рядов в первом столбце, или же они могут относиться к нескольким линиям. Это необходимо отрегулировать соответствующим образом. Вы получите «рабочий файл без названия», которому дается имя по описанному выше методу, и который может быть далее обработан.

10.2         Обработка данных

Создайте новый ряд из существующих данных:

·         Стандартные расчеты, н-р.:

·         логарифмы: lnВВП=log(ВВП)

·         расчет темпов роста:

При использовании данных с сезонными корректировками полезно сравнение с предыдущим периодом. При работе с нескорректированными данными с учетом сезонных изменений, необходимо сравнение с предыдущим годом.

Некоторые полезные команды для командной строки с примерами:

smpl à принять выборку определенного ряда    smpl 2000.1 2014.2

genr à создать ряд       genr dgdp= dlog(gdp)- dlog(gdp(-1)

show x à открыть объект ряда x      show dgdp

show x y à открыть объект кратного ряда             show gdp dgdp

deleteà стереть объект ряда            delete dgdp

В зависимости от того, анализируете ли вы один ряд или группу рядов, есть много способов анализа свойств временных рядов:

·         Диаграммы:

·         Описательная  статистика с гистограммой, н-р:

·         Корреляции между двумя рядами (в определенный момент времени) или взаимная корреляция (с другим интервалом запаздывания):

·         Коррелограммы:

à идентификация структуры процесса (ARMA) с учетом автокорреляционной функции и частичной корреляции

·                    тест ADF – тестирование единичных корней (нестационарность)

внизу показаны результаты выбранных индикаторов: